1 . 已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)设函数的导函数为，若，证明：．

2 . 已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)设函数的导函数为，若（），证明：．

3 . 已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且．
（ⅰ）证明：三点共线；
（ⅱ）求外接圆直径的最大值．

4 . 已知函数（）．
(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；
(2)证明：当时，．

5 . 已知函数（）.
(1)若函数的极大值为0，求实数a的值；
(2)证明：当时，.

6 . 已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是．

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.
①证明：动直线恒过轴上一定点；
②设线段的中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.

7 . 已知函数在点处的切线垂直于轴.
（1）求的单调区间；
（2）若存在三个都为正数的零点，求证：任意两个零点的差小于2.

8 . 已知函数在点处的切线垂直于y轴.
（1）求的单调区间；
（2）若存在a，b，c使得，求证：；

9 . 已知抛物线的准线与直线的距离为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）、为抛物线上的两个不重合的动点，且线段的中点在直线上，设线段的垂直平分线为直线．
①证明：经过定点；
②若交轴于点，设的面积为，求的最大值．

10 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：在上恒成立；
（3）证明：当时，.