1 . 已知椭圆的离心率为，设是C上的动点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作该圆的两切线分别与椭圆C交于点P、Q，若存在圆M与两坐标轴都相切．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线OP，OQ的斜率都存在且分别为，，求证：为定值；
(3)证明：为定值？并求的最大值．

2 . 已知函数.
（Ⅰ）（ⅰ）求证：；
（ⅱ）设，当时，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：.

3 . 已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明：；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）

4 . 已知函数.
(1)若时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若时，
（i）方程在上有唯一的实根，求的取值范围；
（ii）函数.若，是方程的两个实根，求证：.

6 . 已知椭圆上的点到焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线分别交直线于两点，求证：．

7 . 函数.
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)当时，有恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：，.

8 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若有2个极值点，求证：.

9 . 已知函数，其中.
(1)当时，求证：在上单调递减；
(2)若有两个不相等的实数根，，求实数a的取值范围.

10 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，满足.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.