1 . 如图所示,已知椭圆的离心率为,焦距为.

（1）椭圆的方程;
（2）若直线与椭圆相切于点,,垂足为,其中为坐标原点,求面积的最大值.

2 . 椭圆，椭圆的焦距为2，长轴长是焦距的2倍.

（1）求椭圆C的方程；
（2），，，分别与椭圆相切，且，，，如图，，，，围成的矩形的面积取值记为S，求S的取值范围.

3 . 椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；
（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.

4 . 已知函数，为自然对数的底数.
（1）当时，证明，，；
（2）若函数在上存在极值点，求实数的取值范围.

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.

6 . 已知函数.
（1）若,求函数,的最小值;
（2）若在处的切线斜率与无关,求.

7 . 已知函数.
（1）证明：；
（2）数列满足：，（）.
（ⅰ）证明：（）；
（ⅱ）证明：，.

8 . 已知抛物线（）经过点，直线与抛物线有两个不同的交点、，直线交轴于，直线交轴于.
(1)若直线过点，求直线的斜率的取值范围；
(2)若直线过点，设，，，求的值；
(3)若直线过抛物线的焦点，交轴于点，，，求的值.

9 . 已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于、两点，则的取值范围为________.

10 . 椭圆： 的离心率为，短轴端点与两焦点围成的三角形面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，且过点，为坐标原点，当△为直角三角形，求直线的斜率.