真题
名校
1 . 如图,已知曲线
,曲线
,P是平面上一点,若存在过点P的直线与
都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明
的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线
与
有公共点,求证
,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆
内的点都不是“C1—C2型点”.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8f63dee0fb484e63eb3a8baebcdf46f1.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2013/7/18/1571296931315712/1571296936722432/STEM/3ed6c0368dc94e10afd48a28c75e801f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/21e9feabc99f62ee569b460e61526e2e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/5/30/854d5f50-0404-48a2-ba83-49ad3c2727e1.png?resizew=168)
(1)在正确证明
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1241216f3c1cb5e73043dd1037f556d.png)
(2)设直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac02a054bd0771a56987af33454baaea.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f3ffe7abc59e2f65d827c8eab8d36a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/553288bc51ba6174dab2e0175d2df90a.png)
(3)求证:圆
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b28123e129b6426c9a5f31ad8ec2465b.png)
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2019-01-30更新
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2070次组卷
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6卷引用:2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷)
真题
2 . 在平面直角坐标系
中,对于直线
:
和点
记
若
<0,则称点
被直线
分隔.若曲线C与直线
没有公共点,且曲线C上存在点
被直线
分隔,则称直线
为曲线C的一条分隔线.
⑴求证:点
被直线
分隔;
⑵若直线
是曲线
的分隔线,求实数
的取值范围;
⑶动点M到点
的距离与到
轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求
的方程,并证明
轴为曲线
的分割线.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/146bc338f0cb4b9eac729e20a2d84c9d.png?resizew=28)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/8cc7f97b973d4055babec655488c3dc7.png?resizew=9)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50f6e1f67dc15c3cf135a78af95c70fe.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/4798c1132a6e4f51b43cf3f27e5e55d2.png?resizew=132)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/55d9dbc16d2f63153fdd7b4e612ebfd7.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/799cdc6ca82444bba6e38ded9e4f05a9.png?resizew=13)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/0ee6677792774e1f92376a3cc9cdcf04.png?resizew=36)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/8cc7f97b973d4055babec655488c3dc7.png?resizew=9)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/8cc7f97b973d4055babec655488c3dc7.png?resizew=9)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/d6ed1f43183149358b54022127d1376c.png?resizew=44)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/8cc7f97b973d4055babec655488c3dc7.png?resizew=9)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/8cc7f97b973d4055babec655488c3dc7.png?resizew=9)
⑴求证:点
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/4db3073bd68f40a48ff1be5d04e1149e.png?resizew=137)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/fc8a60b8c323475fafee5e37ae437883.png?resizew=80)
⑵若直线
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/28005b52bdec46a5a73f547fec3b5fca.png?resizew=45)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/c336db074c384094989b4af9e793011f.png?resizew=80)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/1814601f310e4e1d8da6d2739f5a7de5.png?resizew=13)
⑶动点M到点
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/2b948a7ab1d644cdb681998277c3f8b3.png?resizew=56)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/f8696ed58b464e0193e6d72fe9643684.png?resizew=15)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2014/6/23/1571792460980224/1571792597475328/STEM/f8696ed58b464e0193e6d72fe9643684.png?resizew=15)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
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2068次组卷
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2卷引用:2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷)
真题
解题方法
3 . 我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作“果圆”,其中
,
,
.如图,设点
是相应椭圆的焦点,
和
分别是“果圆”与x,y轴的交点,M是线段
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/17/86546566-5bb2-42d3-9735-4d8d054ef6a5.png?resizew=192)
(1)若
是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)设P是“果圆”的半椭圆
上任意一点.求证:当
取得最小值时,P在点
或
处;
(3)若P是“果圆”上任意一点,求
取得最小值时点P的横坐标.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/13068aa6d4e3a155d14a2bfd7ab413e5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1173f3888e73861665d62df65ee00510.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/671241e869118e81afc8cc427d24fe22.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/94440d3e4c073f94f2b266ff99d50e74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cba42765dc0f7cba7d6dacb161ef900b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/182d920d6e40db2b143837fec2287351.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/00442d96d695db2c58bf1fb7165fca94.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04d468be20b4d43f5de75416de20e8ee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/473913c0887bb64d386f4c02f1853452.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/17/86546566-5bb2-42d3-9735-4d8d054ef6a5.png?resizew=192)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/88c2bfe459cac775a7b0d09b612de84f.png)
(2)设P是“果圆”的半椭圆
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1173f3888e73861665d62df65ee00510.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/17a92b933377ae3453fb36a171c521c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04d468be20b4d43f5de75416de20e8ee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a18722354086c42e62334983fc50eb6a.png)
(3)若P是“果圆”上任意一点,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/17a92b933377ae3453fb36a171c521c7.png)
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真题
解题方法
4 . 设
分别为椭圆
的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点
到
两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程;
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线
的斜率都存在,并记为
、
时,那么
与
之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线
写出具有类似特性的性质,并加以证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c38928a92bc4b44ed3c9b89769f5372.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c6b0dadb875cccce870b69409a476606.png)
(1)若椭圆C上的点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e90064d012356de1877aa697cd6d6ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c38928a92bc4b44ed3c9b89769f5372.png)
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0747fca9115a17ade8828d49fa27e0ce.png)
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1aabac9984f5bd677aa49cf567e26ff5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1456e81321ccb20077b34562ca9cffbc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/090b7ee52d644d0c630ef44aec1726dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1456e81321ccb20077b34562ca9cffbc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/090b7ee52d644d0c630ef44aec1726dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/19f3fa0b40fb0d9b8c62e37316ab3b04.png)
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真题
解题方法
5 . (1)求右焦点坐标是
,且经过点
的椭圆的标准方程;
(2)已知椭圆
的方程是![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d7aea48c44781a844b5c19191f70f61.png)
.设斜率为
的直线
,交椭圆
于![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
两点,
的中点为
.证明:当直线
平行移动时,动点
在一条过原点的定直线上;
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8f4b5304fcad9f2a5a355e26b2318f5d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b647d7e0213e12c73db1adb33e8a10d.png)
(2)已知椭圆
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d7aea48c44781a844b5c19191f70f61.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0faa2be655f8c6db5187a1928cf8bea9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/50312681cba520fc026f5b851c210d5e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/8/4d864af0-86dc-40c6-b710-7bd08bf0cf50.png?resizew=129)
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482次组卷
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3卷引用:2005年普通高等学校春季招生考试数学试题(上海卷)
2005年普通高等学校春季招生考试数学试题(上海卷)(已下线)秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦-2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题沪教版(2020) 选修第一册 领航者 第2章 2.2椭圆 第2课时 椭圆的性质(1)
真题
名校
6 . 在平面直角坐标系
O
中,直线
与抛物线
=2
相交于A、B两点.
(1)求证:命题“如果直线
过点T(3,0),那么
=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8a476588acbf41d798cc234a52fa21a8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(1)求证:命题“如果直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/658aa70a197c830aa765f2f7ea4c86c5.png)
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
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447次组卷
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13卷引用:2006 年普通高等学校招生考试数学(理)试题(上海卷)
2006 年普通高等学校招生考试数学(理)试题(上海卷)上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题上海市延安中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题(已下线)2010年浙江省绍兴一中高二上学期期中考试数学理卷(已下线)2010-2011学年辽宁省大连市普通高中高二上学期期末考试(文科)试题(已下线)2012-2013学年福建南安一中高二上学期期中考试理科数学试卷(已下线)2012-2013学年黑龙江省集贤县第一中学高二上学期期末理科数学试卷(已下线)2012-2013学年山东省济宁市高二上学期期末理科数学新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高二上学期期末数学试卷甘肃省天水市甘谷第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学(理)试题福建省福州福清市2017-2018学年学年高二上学期期末考试数学(理)试题沪教版(2020) 选修第一册 新课改一课一练 第2章 2.4.2.1抛物线的性质(1)沪教版(2020) 选修第一册 高效课堂 第二章 2.4 抛物线(2)
真题
7 . 在平面直角坐标系
中,已知双曲线
.
(1)过
的左顶点引
的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交
于P、Q两点,若l与圆
相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆
. 若M、N分别是
、
上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/931be57683cd4318ac07f21e1eb0c354.png?resizew=32)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/e7b66fb4cd8d49a5b09871199d0e62bc.png?resizew=105)
(1)过
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/2fcca4ba9ff345cab455f1aa7ce8a065.png?resizew=19)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/2fcca4ba9ff345cab455f1aa7ce8a065.png?resizew=19)
(2)设斜率为1的直线l交
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/2fcca4ba9ff345cab455f1aa7ce8a065.png?resizew=19)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/76d06d2e8d1b41b9968909d18ff4de27.png?resizew=72)
(3)设椭圆
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/15/1570887624867840/1570887630438400/STEM/bfd175367c20475785eedc05a0d07515.png?resizew=107)
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真题
8 . 已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F
,一条渐近线m:
,设过点A
的直线l的方向向量
.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线
,且a与l的距离为
,求K的值;
(3)证明:当
时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/924122736ea32bc978d4e5836cf1ce3b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9fd9c676d1caa27106dedb4c135b2093.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c9a143585498e827b8cdc4eec75cc93.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2010/3/6/1569628422447104/1569628511551488/STEM/e76d879c31c24d26bbdfbbd17da6ae44.png)
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ae9a22d6b9984016ac49cf089dbd5956.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35361e76a7c85d1886728c8d0200b234.png)
(3)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eacad534a542afab7c013dfc8a7c197.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35361e76a7c85d1886728c8d0200b234.png)
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真题
名校
9 . 已知双曲线
,
为
上的任意点.
(1)求证:点
到双曲线
的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点
的坐标为
,求
的最小值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68cdb31a0b09e622ed43de70e6b4b029.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
(1)求证:点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
(2)设点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/623afc24f2227004b0e1b3922dfb954b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ce5dcaffd91bc44cda4a2e44000ae73.png)
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2016-11-30更新
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2120次组卷
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10卷引用:2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(上海卷)【全国市级联考】上海市浦东新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题浙江省余姚中学2017-2018学年高二上学期第一次质量检测试题数学人教B版(2019) 选修第一册 过关检测 第二章 第2.6节 综合把关练沪教版(2020) 选修第一册 领航者 第2章 单元测试(二)(已下线)第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)第14讲 双曲线(4)2023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第七单元 双曲线 B卷2023版 苏教版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第七单元 双曲线 B卷沪教版(2020) 选修第一册 同步跟踪练习 第2章 2.3(2)第1课时 双曲线的几何性质
真题
10 . 在平面直角坐标系
中,已知双曲线
.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2
,求过M点的坐标;
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;
(3)设斜率为
的直线l2交C于P、Q两点,若l与圆
相切,
求证:OP⊥OQ;
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/14/1570886267199488/1570886272860160/STEM/c96a88c11c7f4541ac6c11a71df22ed8.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/14/1570886267199488/1570886272860160/STEM/25814adb35d341818ae67f9bc3511a6c.png)
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/14/1570886267199488/1570886272860160/STEM/ec6c35e612194374bc39d17880a2e35e.png)
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;
(3)设斜率为
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/14/1570886267199488/1570886272860160/STEM/07b5840f8cbd413b913ffeca0289c8e2.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/6/14/1570886267199488/1570886272860160/STEM/6abee543db7b43d097ad398e60db695e.png)
求证:OP⊥OQ;
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