解题方法
1 . 用平面截圆锥面,可以截出椭圆、双曲线、抛物线,那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢?比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1,在一个圆锥中放入两个球,使得它们都与圆锥面相切,一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切,切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点,过点的母线与两个球分别相切于点,因此有,而是图中两个圆锥母线长的差,是一个定值,因此曲线是一个椭圆.如图2,两个对顶圆锥中,各有一个球,这两个球的半径相等且与圆锥面相切,已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为,球的半径为4,平面与圆锥的轴平行,且与这两个球相切于两点,记平面与圆锥侧面相交所得曲线为,则曲线的离心率为__________ .
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解题方法
2 . 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时,数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中,借用帕普斯的研究,使某锐角的顶点与坐标原点重合,点在第四象限,且点在双曲线的一条渐近线上,而与在第一象限内交于点.以点为圆心,为半径的圆与在第四象限内交于点,设的中点为,则.若,则的值为__________ .
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解题方法
3 . 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性,并给出了圆锥曲线的统一定义,只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年,到了3世纪,希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中,完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定义进行了证明.他指出,到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线;当时,轨迹为椭圆;当时,轨迹为双曲线.现有关于方程表示的曲线是椭圆,则的取值范围为___________ .
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名校
解题方法
4 . 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球,球的半径分别为4和2,球心距离,截面分别与球,球相切于点(是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于__________ .
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2022-12-21更新
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3518次组卷
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14卷引用:广东省广州市2023届高三一模数学试题
广东省广州市2023届高三一模数学试题广东省协和、华侨、增城中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(已下线)专题11 离心率问题速解(精讲精练)-3江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期一模数学试题江苏省南通市海安高级中学2023届高三下学期3月阶段测试(四)数学试题(已下线)“8+4+4”小题强化训练(23)湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高二下学期5月第四阶段检测数学试题广东省广州市协和中学等三校2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题广东省广州市三校(南实、铁一、广外)2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题(已下线)期末真题必刷常考60题(32个考点专练)-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线) 第3章 圆锥曲线的方程单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版(2019)选择性必修第一册(已下线)高二数学第一学期期期末押题密卷02卷(已下线)专题7-2求曲线方程和动点轨迹归类-2
5 . 阿波罗尼斯(古希腊数学家,公元前262-190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数(,且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆,,为椭圆的长轴端点,,为椭圆的短轴端点,动点满足,面积的最大值为6,面积的最小值为1,则椭圆的方程为_________
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名校
6 . 人们已经证明,抛物线有一条重要性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴,探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为,从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为,若入射光线的斜率为,则抛物线方程为______ .
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7 . 下列说法正确的序号是__________ .
①用刻画回归效果,当 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;
②可导函数在处取极值,则;
③归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;
④综合法证明数学问题是“由因导果”,分析法证明数学问题是“执果索因”.
①用刻画回归效果,当 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;
②可导函数在处取极值,则;
③归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;
④综合法证明数学问题是“由因导果”,分析法证明数学问题是“执果索因”.
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8 . 对于三次函数,定义是的导函数的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”,可以证明,任何三次函数都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,请你根据这一结论判断下列命题:
①任意三次函数都关于点对称:
②存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;
③存在三次函数,若有实数解,则点为函数的对称中心;
④若函数,则:
其中所有正确结论的序号是____________________ (把所有正确命题的序号都填上).
①任意三次函数都关于点对称:
②存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;
③存在三次函数,若有实数解,则点为函数的对称中心;
④若函数,则:
其中所有正确结论的序号是
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11-12高二下·江苏·期中
9 . 用反证法证明命题“如果x<y,那么 >”时,假设的内容应该是________ .
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10 . 定义是的导函数的导函数,若方程有实数解,则称点,为函数的“拐点”.可以证明,任意三次函数都有“拐点”和对称中心,且“拐点”就是其对称中心,请你根据这一结论判断下列命题:
①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数;
②函数的对称中心也是函数的一个对称中心;
③存在三次函数,方程有实数解,且点为函数的对称中心;
④若函数,则.
其中正确命题的序号为_______ (把所有正确命题的序号都填上).
①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数;
②函数的对称中心也是函数的一个对称中心;
③存在三次函数,方程有实数解,且点为函数的对称中心;
④若函数,则.
其中正确命题的序号为
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