1 . 设函数，是函数的导数.
（1）证明：在区间上没有零点；
（2）证明：在上，.

2 . 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.

3 . 已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若存在两个不等正实数、，满足，且，求实数的取值范围.

4 . 已知函数，.
（1）若，当时，求函数的极值.
（2）当时，证明：.

5 . 已知，，曲线在点处的切线平分圆C：的周长.
（1）求a的值；
（2）讨论函数的图象与直线的交点个数.

6 . 已知函数（）.
（Ⅰ）设为函数的导函数，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在上有最大值，求实数的取值范围.

7 . 已知函数，为的导函数.证明：
（1）在区间存在唯一极小值点；
（2）有且仅有个零点.

8 . 在直角坐标系中，已知椭圆经过点，且其左右焦点的坐标分别是，.
（1）求椭圆的离心率及标准方程；
（2）设为动点，其中，直线经过点且与椭圆相交于，两点，若为的中点，是否存在定点，使恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由

9 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上.
（1）求点的坐标和抛物线的准线方程；
（2）过点的直线与抛物线交于两个不同点，若的中点为，求的面积.

10 . 已知P是圆F₁：（x+1）²+y²＝16上任意一点，F₂（1，0），线段PF₂的垂直平分线与半径PF₁交于点Q，当点P在圆F₁上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.