1 . 如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.

（1）证明：的左焦点是“型点”；
（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；
（3）求证：内的点都不是“型点”.

2 . 已知椭圆：，右焦点，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的动点．
（1）若直线的斜率都存在，证明：;
（2）若，直线分别与直线相交于点，直线与椭圆相交
于点（异于点）， 求证：，，三点共线．

3 . 在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：＋ ＝1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁·k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值；
（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

4 . 如图，过抛物线y²＝2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M₁、N₁

(Ⅰ)求证：FM₁⊥FN₁:
(Ⅱ)记△FMM_1、、△FM₁N₁、△FN N₁的面积分别为，试判断S²₂＝4S₁S₃是否成立，并证明你的结论．

5 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，经过的直线交椭圆于两点，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为，
①证明：直线过定点；
②求的最大值．
备注：若点在椭圆C：上，则椭圆C在点处的切线方程为．

6 . 双曲线的左、右焦点分别为，，焦距等于8，点M在双曲线C上，且，的面积为12.
(1)求双曲线C的方程；
(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过的斜率不为的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.

8 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心 Q的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、 B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与 的斜率依次为、，若，求证：直线 MN恒过定点.

9 . 已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点.
（1）设O为坐标原点，直线，的斜率分别为，，证明：；
（2）过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于点C，若的面积为，求k的值.

10 . 如图，已知椭圆与圆E：在第一象限相交于点P，椭圆C的左、右焦点F₁，F₂都在圆E上，且线段PF₁为圆E的直径．

（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点的动直线1与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：为定值，并求出这个定值．