1 . （1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；
（2）用作图方法找出下面给定椭圆的中心；
（3）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，.如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.

2 . 用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是______.

3 . （1）在圆中有这样的结论：对圆上任意一点，设、是圆和轴的两交点，且直线和的斜率都存在，则它们的斜率之积为定值-1.试将该结论类比到椭圆，并给出证明.
（2）已知椭圆，，，设直线与椭圆交于不同于、的两点、，记直线、、的斜率分别为、、.
（ⅰ）若直线过定点，则是否为定值.若是，请证明；若不是，请说明理由.
（ⅱ）若，求所有整数，使得直线变化时，总有.

4 . 数列中，，若
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

5 . 已知，，且．
（1）求；
（2）若，求证：．

6 . 在数列中，，，．
（1）证明数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）证明不等式，对任意皆成立．

7 . 已知，且满足.
（1）求 ；
（2）若，，求证：.

8 . 证明：在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．

9 . 已知数列满足.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.