1 . 已知
的三边长分别为
、
、
，且其中任意两边长均不相等，若
、
、
成等差数列．
（1）证明
；
（2）求证：角
不可能是钝角．
的三边长分别为、、，且其中任意两边长均不相等，若、、成等差数列．（1）证明
；（2）求证：角
不可能是钝角．
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2020-06-15更新
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229次组卷
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4卷引用：北京市门头沟大峪中学 2019-2020 学年高二下学期期中考试数学试题
北京市门头沟大峪中学 2019-2020 学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）考点57 推理与证明-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过 （已下线）考点49 推理与证明-备战2021年高考数学（文）一轮复习考点一遍过1号卷·A10联盟2022届全国高考第一轮总复习试卷数学（理科）试题（十二）
2 . 如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
为PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求
的值
为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC上存在点D，使得BD⊥AC，并求
的值
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3 . 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n个不同的数
的和
，计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：
(1)当
时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表：
(2)当
时，要使所有机器都得到
，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）
的和，计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，即可完成计算，方法可用下表表示：| 机器号 | 初始时 | 第一单位时间 | 第二单位时间 | 第三单位时间 | |||
| 被读机号 | 结果 | 被读机号 | 结果 | 被读机号 | 结果 | ||
| 1 |  | 2 |  | ||||
| 2 |  | 1 |  | ||||
时，至少需要多少个单位时间可完成计算？把你设计的方法填入下表：| 机器号 | 初始时 | 第一单位时间 | 第二单位时间 | 第三单位时间 | |||
| 被读机号 | 结果 | 被读机号 | 结果 | 被读机号 | 结果 | ||
| 1 | | ||||||
| 2 | | ||||||
| 3 |  | ||||||
| 4 |  | ||||||
时，要使所有机器都得到，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）
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2022-11-09更新
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133次组卷
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2卷引用：2002年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷）
4 . 已知数集
具有性质
：对任意的
，
，使得
成立.
(1)分别判断数集
与
是否具有性质，并说明理由；
(2)求证：
.
具有性质：对任意的，，使得成立.(1)分别判断数集
与是否具有性质，并说明理由；(2)求证：
.
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解题方法
5 . 已知数列
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
，都有
.
(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；
(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得
？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；
(3)记
的所有取值构成的集合为
，求集合中所有元素之和．（结论不要求证明）
的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有.(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；
(2)是否存在满足条件的无穷数列
，使得？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记
的所有取值构成的集合为，求集合中所有元素之和．（结论不要求证明）
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名校
6 . 已知集合
，对于
，
，定义
与的差为
；与之间的距离为
.
（1）若
，试写出所有可能的，；
（2）
，证明：
；
（3），
三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.
，对于，，定义与的差为；与之间的距离为.（1）若
，试写出所有可能的，；（2）
，证明：；（3）
，三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.
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2020-04-14更新
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259次组卷
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4卷引用：2020届北京市朝阳区六校高三四月联考数学（B卷）试题
2020·北京·模拟预测
7 . 甲、乙、丙、丁四位生物学专家在筛选临床抗病毒药物
，
，
，
时做出如下预测：
甲说：和都有效；
乙说：和不可能同时有效；
丙说：有效；
丁说：和至少有一种有效.
临床试验后证明，有且只有两种药物有效，且有且只有两位专家的预测是正确的，由此可判断有效的药物是（ ）
，，，时做出如下预测：甲说：
和都有效；乙说：
和不可能同时有效；丙说：
有效；丁说：
和至少有一种有效.临床试验后证明，有且只有两种药物有效，且有且只有两位专家的预测是正确的，由此可判断有效的药物是（ ）
| A．和 | B．和 | C．和 | D．和 |
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8 . 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；
（2）左图阴影区域面积用
表示为
（3）右图中阴影区域的面积为 
；
（4）则柯西不等式用字母可以表示为
．
请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：
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2018-01-22更新
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616次组卷
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3卷引用：北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题
9 . 德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即
）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即
），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为
）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l可以多次出现），则n的所有不同值的个数为| A．4 | B．6 | C．8 | D．32 |
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2018-06-14更新
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254次组卷
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2卷引用：【全国百强校】北京四中2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科）
10 . 已知数列
前项和为
，且
．
（1）试求出
， 
， 
， 
，并猜想的表达式．
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
前项和为，且．（1）试求出
， ， ， ，并猜想的表达式．（2）用数学归纳法证明你的猜想．
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2018-04-02更新
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896次组卷
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3卷引用：北京市朝阳区北京工业大学附属中学2016-2017学年高二下期期中考试数学（理）试题
