1 . 已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，
中有
个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为
，求证：
．
，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知
，写出所有的，使得；(2)已知
，若，并且，求的最大值；(3)设集合
，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
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12-13高三下·北京海淀·期末
名校
2 . 设A是由
个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 a的所有可能值：
(3)对由个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
1 | 2 | 3 |
|
| 1 | 0 | 1 |
表1
(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求
a |
|
|
|
|
|
|
|
表2
(3)对由
个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
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2023-05-31更新
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509次组卷
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8卷引用：2013届北京市海淀区高三5月期末练习（二模）理科数学试卷
（已下线）2013届北京市海淀区高三5月期末练习（二模）理科数学试卷（已下线）2013届北京市海淀区高三5月期末练习（二模）文科数学试卷（已下线）2014届北京101中学高三上学期10月阶段性考试理科数学试卷北京市首都师范大学附属中学2023届高三下旬阶段性检测数学试题北京市第一六六中学2024届高三上学期10月阶段性诊断数学试题上海师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题01 条件开放型【练】【北京版】江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题
3 . 给定奇数
，设
是
的数阵．
表示数阵第
行第
列的数，
且
．定义变换
为“将数阵中第行和第列的数都乘以
”，其中
．设
．将经过
变换得到
，经过
变换得到
，
，
经过
变换得到
．记数阵
中
的个数为
．
(1)当
时，设
，
，写出
，并求
；
(2)当
时，对给定的数阵，证明：
是
的倍数；
(3)证明：对给定的数阵，总存在
，使得
．
，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．(1)当
时，设，，写出，并求；(2)当
时，对给定的数阵，证明：是的倍数；(3)证明：对给定的数阵
，总存在，使得．
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名校
4 . 已知
，均为正数，并且
，给出下列四个结论：
①中小于1的数最多只有一个；
②中小于2的数最多只有两个；
③中最大的数不小于2022；
④中最小的数不小于
．
其中所有正确结论的序号为_________ ．
，均为正数，并且，给出下列四个结论：①
中小于1的数最多只有一个；②
中小于2的数最多只有两个；③
中最大的数不小于2022；④
中最小的数不小于．其中所有正确结论的序号为
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2023-04-11更新
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465次组卷
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3卷引用：北京市顺义区2023届高三一模数学试题
名校
5 . 素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在
多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“
”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．
年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表
，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为
且公差为
的等差数列的第项恰好为，其中
；
．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.
(1)求
；
(2)证明：；
(3)证明：
①若
在中，则
不是素数；
②若不在中，则是素数．
的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表 ，具体构造的方法如下：
中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.(1)求
；(2)证明：
；(3)证明：
①若
在中，则不是素数；②若
不在中，则是素数．
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2022-04-01更新
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1640次组卷
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4卷引用：北京市门头沟区2022届高三一模数学试题
北京市门头沟区2022届高三一模数学试题北京市第一六一中学2022届高三考前热身训练数学试题（已下线）专题4 “素材创新”类型（已下线）第六篇 数论 专题1 数论中的特殊数 微点2 数论中的特殊数综合训练
21-22高三上·北京·期中
名校
解题方法
6 . 数列
满足：
或
对任意i，j，都存在s，t，使得
，其中
且两两不相等.
(1)若
时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①
；②
；③
；
(2)记
，若
证明：
；
(3)若
，求n的最小值.
满足：或对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等.(1)若
时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①；②；③；(2)记
，若证明：；(3)若
，求n的最小值.
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2021-11-27更新
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865次组卷
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5卷引用：北京市第四中学2022届高三上学期期中考试数学试题
（已下线）北京市第四中学2022届高三上学期期中考试数学试题北京景山学校2022届高三适应性考试数学试题北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（已下线）北京市第五十五中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题（已下线）专题04 数列（数学思想与方法）-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练（全国通用）
名校
7 . 设集合
，其中
是正整数，记
．对于
，
，若存在整数k，满足
，则称
整除
，设
是满足整除的数对
的个数．
（I）若
，
，写出，
的值;
（Ⅱ）求的最大值;
（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．
，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．（I）若
，，写出，的值;（Ⅱ）求
的最大值;（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得
取到最大值时的所有集合A．
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2020-11-06更新
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655次组卷
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4卷引用：北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模数学试题
名校
8 . 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）
与
，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段
，其中
，则称
与
互为正交点列.
（1）试判断
与
是否互为正交点列，并说明理由.
（2）求证：
不存在正交点列
；
（3）是否存在无正交点列
的有序整数点列
？并证明你的结论.
与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.（1）试判断
与是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：
不存在正交点列；（3）是否存在无正交点列
的有序整数点列？并证明你的结论.
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9 . 已知
为
行
列的数表
，称第行列的数
为数表的一个元素.现给定中所有元素
，定义中第行最大的数与第二大的数（这两数可以相等）的比值为
，第列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为
，
，记
，由生成
，同样的方法，由生成
，生成
，……为了方便，我们可以把
中的，，记为
，
，
.
表1
表2
（1）若如表1所示，直接写出；
（2）证明：中一定有一行或者一列为1；
（3）若如表2所示，
，且
，证明：存在
，中所有元素都为1.
为行列的数表，称第行列的数为数表的一个元素.现给定中所有元素，定义中第行最大的数与第二大的数（这两数可以相等）的比值为，第列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为，，记，由生成，同样的方法，由生成，生成，……为了方便，我们可以把中的，，记为，，.| 1 | 2 | 3 |
| 6 | 5 | 4 |
| 1 | 1 | … | 1 |
 |  | … |  |
（1）若
如表1所示，直接写出；（2）证明：
中一定有一行或者一列为1；（3）若
如表2所示，，且，证明：存在，中所有元素都为1.
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10 . 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，j≥bi+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.
表1
表2
（1）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
表1
| a1，1 | a1，2 | … | a1，20 |
| a2，1 | a2，2 | … | a2，20 |
| … | … | … | … |
| a40，1 | a40，2 | … | a40，20 |
| b1，1 | b1，2 | … | b1，20 |
| b2，1 | b2，2 | … | b2，20 |
| … | … | … | … |
| b40，1 | b40，2 | … | b40，20 |
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
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