1 . 对于正整数集合A={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥3),如果去掉其中任意一元素ai(i=1,2,…,n)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合A为“平衡集”.
(Ⅰ)判断集合Q={1,3,5,7,9}是否是“平衡集”并说明理由;
(Ⅱ)求证:若集合A是“平衡集”,则集合A中元素的奇偶性都相同;
(Ⅲ)证明:四元集合A={a1,a2,a3,a4},其中,a1<a2<a3<a4不可能是“平衡集”.
(Ⅰ)判断集合Q={1,3,5,7,9}是否是“平衡集”并说明理由;
(Ⅱ)求证:若集合A是“平衡集”,则集合A中元素的奇偶性都相同;
(Ⅲ)证明:四元集合A={a1,a2,a3,a4},其中,a1<a2<a3<a4不可能是“平衡集”.
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2021-10-24更新
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279次组卷
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2卷引用:北京市顺义牛栏山第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
名校
2 . 已知是无穷数列,,且对于中任意两项,在中都存在一项,使得.
(1)若,求;
(2)若,求证:数列中有无穷多项为;
(3)若,求数列的通项公式.
(1)若,求;
(2)若,求证:数列中有无穷多项为;
(3)若,求数列的通项公式.
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2020-11-15更新
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546次组卷
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4卷引用:北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题
北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题北京市第二十中学2022-2023学年高二下学期期中考试试卷(已下线)2020年高考北京数学高考真题变式题16-21题
名校
3 . 在三棱锥中,,,两两垂直,点在平面上的射影为,为三棱锥内任意一点,连接,,,并延长,交对面于点,,,,则:①,,;②是锐角三角形;③;④;⑤.以上结论中正确结论有( )个.
A.2 | B.3 | C.4 | D.5 |
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名校
4 . 设集合,其中是正整数,记.对于,,若存在整数k,满足,则称整除,设是满足整除的数对的个数.
(I)若,,写出,的值;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)设A中最小的元素为a,求使得取到最大值时的所有集合A.
(I)若,,写出,的值;
(Ⅱ)求的最大值;
(Ⅲ)设A中最小的元素为a,求使得取到最大值时的所有集合A.
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2020-11-06更新
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656次组卷
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4卷引用:北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模数学试题
名校
5 . 在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)与,其中,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段,其中,则称与互为正交点列.
(1)试判断与是否互为正交点列,并说明理由.
(2)求证:不存在正交点列;
(3)是否存在无正交点列的有序整数点列?并证明你的结论.
(1)试判断与是否互为正交点列,并说明理由.
(2)求证:不存在正交点列;
(3)是否存在无正交点列的有序整数点列?并证明你的结论.
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6 . 已知为行列的数表,称第行列的数为数表的一个元素.现给定中所有元素,定义中第行最大的数与第二大的数(这两数可以相等)的比值为,第列的最大数与第二大的数(两数也可以相等)的比值为,,记,由生成,同样的方法,由生成,生成,……为了方便,我们可以把中的,,记为,,.
表1
表2
(1)若如表1所示,直接写出;
(2)证明:中一定有一行或者一列为1;
(3)若如表2所示,,且,证明:存在,中所有元素都为1.
1 | 2 | 3 |
6 | 5 | 4 |
1 | 1 | … | 1 |
… |
(1)若如表1所示,直接写出;
(2)证明:中一定有一行或者一列为1;
(3)若如表2所示,,且,证明:存在,中所有元素都为1.
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7 . 如图,表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表,其中am,n(m=1,2,…,40;n=1,2,…,20)表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列(不改变该数所在的列的位置),得到表2(即bi,j≥bi+1,j,其中i=1,2,…,39;j=1,2,…,20).
表1
表2
(1)判断是否存在表1,使得表2中的bi,j(i=1,2,…,40;j=1,2,…,20)等于100﹣i﹣j?等于i+2﹣j呢?(结论不需要证明)
(2)如果b40,20=1,且对于任意的i=1,2,…,39;j=1,2,…,20,都有bi,j﹣bi+1,j≥1成立,对于任意的m=1,2,…,40;n=1,2,…,19,都有bm,n﹣bm,n+1≥2成立,证明:b1,1≥78;
(3)若ai,1+ai,2+…+ai,20≤19(i=1,2,…,40),求最小的正整数k,使得任给i≥k,都有bi,1+bi,2+…+bi,20≤19成立.
表1
a1,1 | a1,2 | … | a1,20 |
a2,1 | a2,2 | … | a2,20 |
… | … | … | … |
a40,1 | a40,2 | … | a40,20 |
b1,1 | b1,2 | … | b1,20 |
b2,1 | b2,2 | … | b2,20 |
… | … | … | … |
b40,1 | b40,2 | … | b40,20 |
(2)如果b40,20=1,且对于任意的i=1,2,…,39;j=1,2,…,20,都有bi,j﹣bi+1,j≥1成立,对于任意的m=1,2,…,40;n=1,2,…,19,都有bm,n﹣bm,n+1≥2成立,证明:b1,1≥78;
(3)若ai,1+ai,2+…+ai,20≤19(i=1,2,…,40),求最小的正整数k,使得任给i≥k,都有bi,1+bi,2+…+bi,20≤19成立.
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8 . 设等差数列的首项为0,公差为a,;等差数列的首项为0,公差为b,.由数列和构造数表M,与数表;
记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中,(i,j=1,2,3,…).
记数表中位于第i行第j列的元素为,其中(,,).如:,.
(1)设,,请计算,,;
(2)设,,试求,的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表;
(3)设,,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.
记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中,(i,j=1,2,3,…).
记数表中位于第i行第j列的元素为,其中(,,).如:,.
(1)设,,请计算,,;
(2)设,,试求,的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表;
(3)设,,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.
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9 . 数列的各项均为整数,满足:,且,其中.
(1)若,写出所有满足条件的数列;
(2)求的值;
(3)证明:.
(1)若,写出所有满足条件的数列;
(2)求的值;
(3)证明:.
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2020-03-12更新
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405次组卷
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2卷引用:2019届北京市一零一中学高三下学期月考(三)数学(理)试题
名校
10 . 几位同学在研究函数时给出了下面几个结论:①函数的值域为;②若,则一定有;③在是增函数;④若规定,且对任意正整数都有:,则对任意恒成立.上述结论中正确结论的序号为__________ .
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2019-11-15更新
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1282次组卷
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4卷引用:北京101中学2020-2021学年高一年级上学期期中考试数学试题