名校
1 . 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”,即可将有序复数对视为一个向量,记作.类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算;两个复向量,的数量积记作,定义为;复向量的模定义为.
(1)设,,求复向量与的模;
(2)已知对任意的实向量与,都有,当且仅当与平行时取等号;
①求证:对任意实数a,b,c,d,不等式成立,并写出此不等式的取等条件;
②求证:对任意两个复向量与,不等式仍然成立;
(3)当时,称复向量与平行.设,,,若复向量与平行,求复数z的值.
(1)设,,求复向量与的模;
(2)已知对任意的实向量与,都有,当且仅当与平行时取等号;
①求证:对任意实数a,b,c,d,不等式成立,并写出此不等式的取等条件;
②求证:对任意两个复向量与,不等式仍然成立;
(3)当时,称复向量与平行.设,,,若复向量与平行,求复数z的值.
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2 . 有序数组是指数组里的数是按规定次序排列的,虽然仍然是同样一些数,但排列次序不同,看作是不同的数组.已知有序数组:,由此数组变换可得到一个新的有序数组:.如果有序数组中的数满足:当时,恒成立,则称有序数组为“首差不减数组”.
(1)已知有序数组P:,Q:,试判断有序数组P,Q是否为“首差不减数组”,并说明理由;
(2)有序数组是数1,2,3,…,m的一个排列,有序数组,若有序数组M,N均为“首差不减数组”,列举出所有满足条件的有序数组M.
(1)已知有序数组P:,Q:,试判断有序数组P,Q是否为“首差不减数组”,并说明理由;
(2)有序数组是数1,2,3,…,m的一个排列,有序数组,若有序数组M,N均为“首差不减数组”,列举出所有满足条件的有序数组M.
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名校
3 . 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数.
(1)若函数的对称中心为,求函数的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到:任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而,一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程,在复数集内的根为,,则方程可变形为,展开得:则有,即,类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.
①若,方程在复数集内的根为,当时,求的最大值;
②若,函数的零点分别为,求的值.
(1)若函数的对称中心为,求函数的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到:任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积.进而,一元n次多项式方程有n个复数根(重根按重数计).如设实系数一元二次方程,在复数集内的根为,,则方程可变形为,展开得:则有,即,类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系.
①若,方程在复数集内的根为,当时,求的最大值;
②若,函数的零点分别为,求的值.
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4 . 对于非空集合,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”,简记为.而判断是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
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2020·辽宁·二模
5 . 已知函数.
(1)若.证明函数有且仅有两个零点;
(2)若函数存在两个零点,证明:.
(1)若.证明函数有且仅有两个零点;
(2)若函数存在两个零点,证明:.
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2017·北京·高考真题
真题
名校
6 . 设和是两个等差数列,记,
其中表示这个数中最大的数.
(Ⅰ)若,,求的值,并证明是等差数列;
(Ⅱ)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列.
其中表示这个数中最大的数.
(Ⅰ)若,,求的值,并证明是等差数列;
(Ⅱ)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列.
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2017-08-07更新
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5169次组卷
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18卷引用:专题21 数列解答题(理科)-4
(已下线)专题21 数列解答题(理科)-42017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷精编版)贵州省遵义市第四中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试题(已下线)2018年高考二轮复习测试专项【苏教版】专题五 数列(已下线)专题12.2 直接证明与间接证明(练)【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》(已下线)专题11.2 直接证明与间接证明(练)【文】-《2020年高考一轮复习讲练测》北京市第五中学2019-2020学年高二下学期第一次段考数学试题(已下线)专题14 数列综合-五年(2016-2020)高考数学(理)真题分项(已下线)专题33 算法、复数、推理与证明-十年(2011-2020)高考真题数学分项(八)(已下线)考点43 直接证明与间接证明-备战2022年高考数学(理)一轮复习考点微专题(已下线)专题09 数列-五年(2017-2021)高考数学真题分项(新高考地区专用)(已下线)专题12 盘点等差(比)数列的判断与证明——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破北京市八一学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题北京名校2023届高三二轮复习 专题三 集合与数列 第2讲 数列的综合应用(已下线)专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点2 数列存在型问题的解法北京市育英学校2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题北京十年真题专题06数列北京市第一○一中学2022-2023学年高二下学期期中练习数学试题
2016·上海·高考真题
真题
名校
7 . 若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.
(1)若具有性质,且,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,判断是否具有性质,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
(1)若具有性质,且,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,判断是否具有性质,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
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2016-12-04更新
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900次组卷
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16卷引用:专题21 数列解答题(理科)-2
(已下线)专题21 数列解答题(理科)-2辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷精编版)北京市西城区北师大实验2017届高三上12月月考数学(理)试题北京西城北师大实验2017届高三上12月月考数学(理)试题(已下线)《2018届优等生百日闯关系列》【江苏版】专题二 第五关 以子数列或生成数列为背景的解答题上海市复旦大学附属中学2019届高三高考4月模拟试卷数学试题江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题(已下线)专题14 数列综合-五年(2016-2020)高考数学(文)真题分项(已下线)专题14 数列综合-五年(2016-2020)高考数学(理)真题分项(已下线)考点20 数列的综合运用-2021年高考数学三年真题与两年模拟考点分类解读(新高考地区专用)北京市第八中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题(已下线)2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷参考版)2020年江苏省南通海安市高三学年初学业质量检测数学试题(已下线)重组卷03北京市中关村中学2022-2023学年高二下学期期中调研数学试题