2024·湖北武汉·模拟预测
名校
解题方法
1 . 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若
与
的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量与的样本相关系数
（结果精确到0.01）；
(2)试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（
，均保留一位小数）
附：经验回归方程
，其中
，
样本相关系数
参考数据：
.
年月 | 2023年8月 | 2023年9月 | 2023年10月 | 2023年11月 | 2023年12月 | 2024年1月 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售金额 | 15.4 | 25.4 | 35.4 | 85.4 | 155.4 | 195.4 |
与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)试求变量
与的样本相关系数（结果精确到0.01）；(2)试求
关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）附：经验回归方程
，其中，样本相关系数
参考数据：
.
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218次组卷
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12卷引用：第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）
（已下线）第八章 成对数据的统计分析（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用（分层练习，7大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）9．1 线性回归分析（2）河南省名校联考2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（已下线）8.2 一元线性回归模型及其应用——课后作业（巩固版）湖北省武汉市2024届高中毕业班二月调研考试数学试题山东省菏泽第一中学八一路校区2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）热点8-2 概率与统计综合（10题型+满分技巧+限时检测）（已下线）专题08 统计案例分析（讲义）（已下线）【一题多变】 相关关系 回归分析（已下线）专题10.1 概率与统计的综合运用【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2河北省保定市高碑店市崇德实验中学2024届高三下学期3月月考数学试题
2024高二下·全国·专题练习
2 . 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到2×2列联表如表所示．
试用等高堆积条形图判断服用药与患病之间是否有关联．
患病 | 未患病 | 合计 | |
服用药 | 10 | 45 | 55 |
没有服用药 | 20 | 30 | 50 |
合计 | 30 | 75 | 105 |
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名校
解题方法
3 . 近年来，长安区大力发展大花卉产业，其中玫瑰既有观赏价值也能加工成食品和高档化妆品而得到环山路一带农民大面种植．已知玫瑰的株高y（单位：cm）与一定范围内的温度x（单位：
）有关，现收集了玫瑰的13组观测数据，得到如下的散点图：
或
建立y关于x的回归方程，令
，
得到如下数据：
且
与
的相关系数分别为
，
，且
．
(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
(2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知玫瑰的利润z与x、y的关系为
，当x为何值时，z的预期最大．
参考数据和公式：
，
，
，对于一组数据
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
，
，相关系数
．
）有关，现收集了玫瑰的13组观测数据，得到如下的散点图：
或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据：
|
|
|
| ||||
10.15 | 109.94 | 3.04 | 0.16 | ||||
|
|
|
|
| |||
13.94 |
| 11.67 | 0.21 | 21.22 | |||
与的相关系数分别为，，且．(1)用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
(2)根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知玫瑰的利润z与x、y的关系为
，当x为何值时，z的预期最大．参考数据和公式：
，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
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2024·全国·模拟预测
名校
解题方法
4 . 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中
用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为
，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：
.参考数据：
.
天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
作物高度y/cm | 9 | 10 | 10 | 11 | 12 | 13 | 13 | 14 | 14 | 14 |
与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为
，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.参考公式：
.参考数据：.
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1698次组卷
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5卷引用：8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型 第二练 强化考点训练
（已下线）8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型 第二练 强化考点训练华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评文科数学试题（老教材全国卷）华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评理科数学试题（老教材全国卷）河南省信阳市第一高级中学（华大新高考联盟）2024届高三4月教学质量测评数学试题湖北省华中师范大学第一附属中学、湖南省湖南师范大学附属中学等三校2024届高三下学期4月模拟考试（二模）数学试卷
解题方法
5 . 某城市理论预测2015年到2019年人口总数与年份的关系如下表所示
(1)请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
(2)求出关于的线性回归方程
；
(3)据此估计2021年该城市人口总数．
参考公式：相关系数
，对于一组具有线性相关关系的数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
时间代号 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口总数（十万） | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；(2)求出
关于的线性回归方程；(3)据此估计2021年该城市人口总数．
参考公式：相关系数
，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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6 . 在
中，角
的对边分别是
，且
，求证：角
为锐角．
中，角的对边分别是，且，求证：角为锐角．
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解题方法
7 . 已知复数
，（i为虚数单位）．
(1)求
；
(2)若
，求实数
的值．
，（i为虚数单位）．(1)求
；(2)若
，求实数的值．
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2024高二下·江苏·专题练习
解题方法
8 . 考察小麦种子灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表：
试分析种子灭菌与小麦发生黑穗病是否有关？
附：
；
| 种子灭菌 | 种子未灭菌 | 合计 | |
| 黑穗病 | 26 | 184 | 210 |
| 无黑穗病 | 50 | 200 | 250 |
| 合计 | 76 | 384 | 460 |
附：
；| P(χ2≥x0) | 0.15 | 0.1 | 0.05 | 0.025 |
| x0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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2024·内蒙古包头·二模
9 . 某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入
（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：
根据表格中的数据，建立了与的两个回归模型：模型①：
模型②：
.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数
越大，模型的拟合效果越好）
（万元）与科技升级直接收益（万元）的数据统计如下：| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 |
与的两个回归模型：模型①：模型②：.(1)根据下列表格中的数据，比较模型①､②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型；
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益.
| 回归模型 | 模型① | 模型② |
| 回归方程 |  | |
 | 182.4 | 79.2 |
越大，模型的拟合效果越好）
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2024·全国·模拟预测
解题方法
10 . 将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达
，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
(1)求氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；
(2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
（ⅰ）根据已知条件，填写上述
列联表；
（ⅱ）依据
的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？
参考公式：1．回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
；
2．
．
，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：| 年份 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
| 销量（万台） | 2 | 3.5 | 2.5 | 8 | 9 |
(1)求氢能源乘用车的销量
关于年份的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；(2)为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
| 了解 | 不了解 | 合计 | |
| 男生 | 25 | ||
| 女生 | 20 | ||
| 合计 |
列联表；（ⅱ）依据
的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：1．回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为； 2．
． | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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