1 . 已知，求证：，当是3的倍数时值为2，当不是3的倍数时值为.

2 . 已知复数，若存在实数，使成立．
（1）求证：定值；
（2）若，求的取值范围．

3 . 已知关于x的方程.
（1）若此方程有实数根，求锐角的值；
（2）求证：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根.

4 . 设虚数z满足.
（1）求证：为定值；
（2）是否存在实数k，使为实数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

5 . 设是虚数，是实数，且.
（1）求的值以及的实部的取值范围；
（2）若，求证：为纯虚数.

6 . 已知复数，，复数，在复平面上所对应的点分别为P，Q，求证：是等腰直角三角形（其中O为原点）.

7 . 已知复数满足，
（1）求证：为定值；
（2）设，，若，，求．

8 . 设常数，已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，将作为点的坐标，作为点的坐标，通过关系式，可以看作是坐标平面上点的一个变换，它将平面上的点变到这个平面上的点.
（1）分别写出和用表示的关系式；
（2）设，当点在圆上移动时，求证：点经该变换后得到的点落在一个圆上，并求出该圆的方程；
（3）求证：对于任意的常数，总存在曲线，使得当点在上移动时，点经这个变换后得到的点的轨迹是二次函数的图像，并写出对于正常数，满足条件的曲线的方程.

9 . 已知，求证：.

10 . 已知是实系数一元二次方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位.
（1）若在直线上，求证：在圆:上；
（2）给定圆，则存在唯一的线段满足：
①若在圆上，则在线段上；
②若是线段上一点（非端点），则在圆上，写出线段的表达式，并说明理由；
（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）.
表一：

线段与线段的关系	的取值或表达式
所在直线平行于所在直线
所在直线平分线段
线段与线段长度相等