1 . 已知椭圆的短轴长为，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上的点(不是椭圆顶点)作两条相互垂直的直线，分别与交于另外两点，，直线经过原点，直线与轴､轴分别交于，两点，求面积的最大值.

2 . 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，以椭圆中心为圆心，长半轴长为半径的圆被直线截得的弦长为
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左顶点为，右顶点为，右焦点，是椭圆位于轴上方部分的一个动点，以点为圆心，过点的圆与轴相交，交点在右边，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线，交直线于点，判断是否为定值，并给出证明.

4 . 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（       ）

A．图形关于轴对称

B．曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）

C．曲线上存在到原点的距离超过的点

D．曲线所围成的“心形”区域的面积大于3

5 . 如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于和（其中在轴的上方），交轴于点．

（1）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；
（2）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．

6 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8.
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

7 . 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱上一点.

（1）若为棱的中点，求证：直线CE//平面PAD；
（2）若为棱上存在异于、的一点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值

8 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值．

9 . 已知椭圆的方程为，左､右焦点分别是，，若椭圆上的点到，的距离和等于4.
（1）写出椭圆的方程和焦点坐标.
（2）直线过定点，且与椭圆交于不同的两点，，若原点在以线段为直径的圆外，求直线的斜率的取值范围.

10 . 如图所示，已知椭圆的离心率为，一条准线为直线

（1）求椭圆的标准方程；
（2）A为椭圆的左顶点，P为平面内一点（不在坐标轴上），过点P作不过原点的直线l交椭圆于C，D两点（均不与点A重合），直线AC，AD与直线OP分别交于E，F两点，若，证明：点P在一条确定的直线上运动.