1 . 如图，已知椭圆的左、右顶点为、，又、与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为.圆的圆心为椭圆的左顶点.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线分别交于、两点，求的最小值；
(3)圆A与椭圆交于点、.点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点.求证：为定值.

2 . 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（       ）

A．存在点，使得平面

B．存在点，使得直线与直线所成的角为

C．存在点，使得三棱锥的体积为

D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与所成的角

3 . 在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，，与圆柱底面相切于A，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线．点线段中点，点在线段上，且．已知圆柱，底面半径为2，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值．

4 . 已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．

5 . 已知抛物线过点，O为坐标原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，若弦AB的长等于6，求的面积；
(3)抛物线上是否存在异于O，M的点N，使得经过O，M，N三点的圆C和抛物线在点N处有相同的切线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

6 . 已知正方体的棱长为2，M为棱上的动点，平面，下面说法正确的是（       ）

A．若N为中点，当最小时，

B．直线AB与平面所成角的正切值的取值范围为

C．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大

D．若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为

7 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，过原点的直线与C交于A，B两点(A在第一象限)，若，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.