22-23高二上·福建泉州·期末
1 . 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：
的阿基米德三角形
为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②
；③
.已知△PAB为等轴双曲线
的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.
(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若
，弦AB的中点为Q，
，求点P的坐标.
（注：双曲线
的以
为切点的切线方程为
的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F.(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）
(2)若
，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标.（注：双曲线
的以为切点的切线方程为
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解题方法
2 . 已知椭圆E：
的左右顶点分别为
、
，点M在E上（异于左右顶点）、且
面积的最大值为2．过点M和点
的直线l与E交于另外一点B，且B关于x轴的对称点为C．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)线段MC的长度
能否为下列值：
、
？（直接写出结论即可）
的左右顶点分别为、，点M在E上（异于左右顶点）、且面积的最大值为2．过点M和点的直线l与E交于另外一点B，且B关于x轴的对称点为C．(1)求椭圆E的标准方程；
(2)试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
(3)线段MC的长度
能否为下列值：、？（直接写出结论即可）
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22-23高二上·上海徐汇·期末
名校
解题方法
3 . 《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
，
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为
，将极点
，分别与正方形
的顶点连线，取其中点记为
，
，
，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥
与
(1)求异面直线
与
成角余弦值；
(2)求平面
与平面
的夹角正弦值；
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与(1)求异面直线
与成角余弦值；(2)求平面
与平面的夹角正弦值；(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）.
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2023-01-18更新
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1042次组卷
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10卷引用：第3章 空间向量及其应用（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）
（已下线）第3章 空间向量及其应用（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）（已下线）期末真题必刷压轴60题（23个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题上海市南洋模范中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式）练重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高二下学期2月月度质量检测数学试题（已下线）微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题三 空间体积的计算 微点6 空间交叉图形公共部分体积的计算【培优版】（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点3 跨学科交汇问题综合训练【培优版】
4 . 将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同.
对于正整数
，
，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意
，都有
，
，
分别在表格的不同行，则称数对
为自然数集
的“友好数对”.
（Ⅰ）试判断数对
是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）试判断数对
是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅲ）若
，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）.
| 第一行 | … | ||||
| 第二行 | … | ||||
| 第三行 | … |
对于正整数
，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”.（Ⅰ）试判断数对
是否是的“友好数对”，并说明理由；（Ⅱ）试判断数对
是否是的“友好数对”，并说明理由；（Ⅲ）若
，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）.
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2020-09-04更新
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694次组卷
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7卷引用：辽宁省辽东教学共同体2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题
辽宁省辽东教学共同体2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题（已下线）专题02 常用逻辑用语压轴题-【常考压轴题】贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题（已下线）2.2 充分条件、必要条件、充要条件（课堂培优）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第一册）（已下线）专题2.3 常用逻辑用语 章末检测3（难）-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷（苏教版2019必修第一册）第2章 常用逻辑用语 单元综合检测（难点）
5 . 已知椭圆
：
的一个焦点坐标为
，离心率
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设
为坐标原点，椭圆与直线
相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为-1，求线段AB的长；
(3)如图，设椭圆上一点R的横坐标为1（R在第一象限），过R作两条不重合直线分别与椭圆交于P、Q两点、若直线PR与QR的倾斜角互补，求直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.
：的一个焦点坐标为，离心率.(1)求椭圆
的方程；(2)设
为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M.若直线OM的斜率为-1，求线段AB的长；(3)如图，设椭圆上一点R的横坐标为1（R在第一象限），过R作两条不重合直线分别与椭圆
交于P、Q两点、若直线PR与QR的倾斜角互补，求直线PQ的斜率的所有可能值组成的集合.
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