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1 . 已知椭圆:的离心率是,点是椭圆的上顶点,点是椭圆上不与椭圆顶点重合的任意一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆.若直线与圆相切,且点在轴右方,求点的坐标;
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点,点关于轴的对称点是点,直线、分别交轴与点、点,探究是否为定值,若为定值,求出该定值,若不为定值,说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)设圆.若直线与圆相切,且点在轴右方,求点的坐标;
(3)若点是椭圆上不与椭圆顶点重合且异于点的任意一点,点关于轴的对称点是点,直线、分别交轴与点、点,探究是否为定值,若为定值,求出该定值,若不为定值,说明理由.
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2 . 中国结是一种传统的民间手工艺术,带有浓厚的中华民族文化特色,它有着复杂奇妙的曲线.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条,其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线.在平面直角坐标系中,把与定点、距离之积等于的动点的轨迹称为伯努利双纽线,记为曲线.关于曲线,有下列两个命题:
①曲线上的点的横坐标的取值范围是;
②若直线与曲线只有一个交点,则实数的取值范围为.
则( )
①曲线上的点的横坐标的取值范围是;
②若直线与曲线只有一个交点,则实数的取值范围为.
则( )
A.①为真命题,②为假命题 | B.①为假命题,②为真命题 |
C.①为真命题,②为真命题 | D.①为假命题,②为假命题 |
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3 . 已知圆,圆动圆与圆外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设不经过点的直线与曲线相交于两点,直线与直线的斜率均存在且斜率之和为,直线是否过定点,若过定点,写出定点坐标.
(1)求曲线的方程;
(2)设不经过点的直线与曲线相交于两点,直线与直线的斜率均存在且斜率之和为,直线是否过定点,若过定点,写出定点坐标.
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4 . 设点分别为双曲线的左、右焦点,点分别在双曲线的左、右支上,若,,且,则双曲线的离心率为______ .
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5 . 已知曲线,对于命题:(1)垂直于x轴的直线与曲线C有且只有一个交点;(2)若点 为曲线C上任意两点,则有下列判断正确的是( )
A.(1)和(2)均为真命题 | B.(1)和(2)均为假命题 |
C.(1)为真命题,(2)为假命题 | D.(1)为假命题,(2)为真命题 |
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6 . 在平面直角坐标系中,一动圆经过点且与直线相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线K, P是曲线K上一点.
(1)当时,求曲线K的轨迹方程;
(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B,C 两点,若且直线与直线交于Q点.求证: 为定值:
(3)若且点 D,E在y轴上,的内切圆的方程为求面积的最小值.
(1)当时,求曲线K的轨迹方程;
(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B,C 两点,若且直线与直线交于Q点.求证: 为定值:
(3)若且点 D,E在y轴上,的内切圆的方程为求面积的最小值.
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7 . 已知椭圆的左,右焦点分别为,下顶点为A,点M在直线上.
(1)若,线段AM 的中点在x轴上,求M 的坐标;
(2)若直线l与y轴交于B,直线AM 经过右焦点,在中有一个内角的余弦值为 ,求b的值;
(3)若,直线 l与椭圆Γ没有公共点,在椭圆Γ上存在一点,,点P到l的距离为d,且,当a变化时,求d的取值范围.
(1)若,线段AM 的中点在x轴上,求M 的坐标;
(2)若直线l与y轴交于B,直线AM 经过右焦点,在中有一个内角的余弦值为 ,求b的值;
(3)若,直线 l与椭圆Γ没有公共点,在椭圆Γ上存在一点,,点P到l的距离为d,且,当a变化时,求d的取值范围.
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8 . 已知点A(−2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.
(1)求M的轨迹;
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明:是直角三角形;
②求面积的最大值.
(1)求M的轨迹;
(2)过坐标原点的直线交M的轨迹于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连结QE并延长交M的轨迹于点G.
①证明:是直角三角形;
②求面积的最大值.
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9 . (多选)数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的符号,我们把形状类似的曲线称为“曲线”.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”.已知点是“曲线”上一点,下列说法中正确的有( )
A.“曲线”关于原点中心对称 |
B. |
C.“曲线”上满足的点有两个 |
D.的最大值为 |
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10 . 长方体中,,,,点是空间一动点,是棱的中点,则下列结论正确的是( )
A.若在侧面内含边界运动,当长度最小时,三棱锥的体积为 |
B.若在侧面内含边界运动,存在点,使平面 |
C.若在侧面内含边界运动,且,则点的轨迹为圆弧 |
D.若在内部运动,过分别作平面,平面,平面的垂线,垂足分别为,,,则为定值 |
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