1 . 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

       

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．

3 . 如图，在三棱锥中，的中点分别为．

(1)求的长；
(2)证明：平面平面；
(3)求平面和平面夹角的余弦值．

4 . 已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．

5 . 如图，在三棱台中，平面，且为中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求此时平面和平面所成角的余弦值.

6 . 已知抛物线的焦点为F，直线与轴的交点为A，与C的交点为P，且．
(1)求C的方程；
(2)延长交抛物线于Q，O为坐标原点，求的面积．

7 . 已知椭圆的短半轴长，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值．

8 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4．
(1)求的方程；
(2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程．

9 . 设椭圆C：（）的两个焦点是和（），且椭圆C与圆有公共点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为，求椭圆C的方程；
(3)对（2）中的椭圆C，直线：（）与C交于不同的两点M，N，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的取值范围．

10 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，垂足为，为的中点，平面．

(1)证明：；
(2)若，，与平面所成的角为60°，求平面与平面夹角的余弦值．