1 . 已知双曲线的方程为,虚轴长为2,点在上.
(1)求双曲线的方程;
(2)过原点的直线与交于两点,已知直线和直线的斜率存在,证明:直线和直线的斜率之积为定值;
(3)过点的直线交双曲线于两点,直线与轴的交点分别为,求证:的中点为定点.
(1)求双曲线的方程;
(2)过原点的直线与交于两点,已知直线和直线的斜率存在,证明:直线和直线的斜率之积为定值;
(3)过点的直线交双曲线于两点,直线与轴的交点分别为,求证:的中点为定点.
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2024-03-03更新
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1432次组卷
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6卷引用:贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性考试数学试卷(一)
名校
解题方法
2 . 已知双曲线G的中心为坐标原点,离心率为,左、右顶点分别为,.
(1)求的方程;
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点.
(i)证明:点在定直线上:
(ii)若直线与交于点,求证:.
(1)求的方程;
(2)过右焦点的直线l与G的右支交于M,N两点,若直线与交于点.
(i)证明:点在定直线上:
(ii)若直线与交于点,求证:.
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2024-04-17更新
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1088次组卷
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2卷引用:辽宁省葫芦岛市2024届高三下学期第一次模拟数学试题
名校
解题方法
3 . 已知点在双曲线上.
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点,其中O为坐标原点,求证:的面积是定值;
(2)已知点,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、,在线段上取异于点、的点,满足,证明:点恒在一条定直线上.
(1)双曲线上动点Q处的切线交的两条渐近线于两点,其中O为坐标原点,求证:的面积是定值;
(2)已知点,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、,在线段上取异于点、的点,满足,证明:点恒在一条定直线上.
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2023-05-17更新
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1063次组卷
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4卷引用:安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷(二)数学试题
安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷(二)数学试题(已下线)专题3.9 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)专题突破卷23 圆锥曲线大题归类山东省青岛市青岛第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
名校
解题方法
4 . 在平面直角坐标系中,椭圆与双曲线有公共顶点,且的短轴长为2,的一条渐近线为.
(1)求,的方程:
(2)设是椭圆上任意一点,判断直线与椭圆的公共点个数并证明;
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线,切点为、,求证:直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值,并求出该定值.
(1)求,的方程:
(2)设是椭圆上任意一点,判断直线与椭圆的公共点个数并证明;
(3)过双曲线上任意一点作椭圆的两条切线,切点为、,求证:直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为定值,并求出该定值.
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2022-11-04更新
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573次组卷
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3卷引用:江苏省常州市溧阳市2022-2023学年高二上学期期中数学试题
名校
解题方法
5 . 在平面直角坐标系中,对于直线和点、,记,若,则称点、被直线分隔,若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点、被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线.
(1)判断点是否被直线分隔并证明;
(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分隔线.
(1)判断点是否被直线分隔并证明;
(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分隔线.
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6 . 记到点与直线:的“有向距离”.
(1)分别求点与到直线:的“有向距离”,由此说明直线与两点、的位置关系.
(2)求证:到两条相交定直线(,不同时为零)的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线.
(3)利用上述(2)结论证明:曲线为双曲线,并求其虚轴长.
(1)分别求点与到直线:的“有向距离”,由此说明直线与两点、的位置关系.
(2)求证:到两条相交定直线(,不同时为零)的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线.
(3)利用上述(2)结论证明:曲线为双曲线,并求其虚轴长.
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名校
解题方法
7 . 已知椭圆,点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点,点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点.
(1)求证:直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值,并求出该定值;
(2)试对双曲线写出具有类似特点的正确结论,并加以证明.
(1)求证:直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值,并求出该定值;
(2)试对双曲线写出具有类似特点的正确结论,并加以证明.
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名校
8 . 如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“型点”.
(1)若,时,判断的左焦点是否为“型点”,并说明理由;
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;
(3)若圆内的任意一点都不是“型点”,试写出a、b满足的关系式,并说明理由.
(1)若,时,判断的左焦点是否为“型点”,并说明理由;
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“型点”;
(3)若圆内的任意一点都不是“型点”,试写出a、b满足的关系式,并说明理由.
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解题方法
9 . 已知双曲线,经过点的直线与该双曲线交于两点.
(1)若与轴垂直,且,求的值;
(2)若,且的横坐标之和为,证明:.
(3)设直线与轴交于点,求证:为定值.
(1)若与轴垂直,且,求的值;
(2)若,且的横坐标之和为,证明:.
(3)设直线与轴交于点,求证:为定值.
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2020-05-20更新
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506次组卷
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5卷引用:2020届上海杨浦区高三二模数学试题
2020届上海杨浦区高三二模数学试题(已下线)热点04 平面向量、复数-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)上海市致远高中2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题上海市同济大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题西藏拉萨市部分学校2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(理科)
10 . (1)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为4,渐近线方程为.求双曲线的标准方程;
(2)过(1)中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于两点,且P是线段AB的中点,求证:为常数;
(3)我们知道函数的图象是由双曲线的图象逆时针旋转45°得到的,函数的图象也是双曲线,请尝试写出曲线的性质(不必证明).
(2)过(1)中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于两点,且P是线段AB的中点,求证:为常数;
(3)我们知道函数的图象是由双曲线的图象逆时针旋转45°得到的,函数的图象也是双曲线,请尝试写出曲线的性质(不必证明).
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