1 . 已知平面内两个定点，，过动点作直线的垂线，垂足为，且.
(1)求点的轨迹E的方程；
(2)若直线与曲线交于两点，且，，求实数的值.

2 . 在平面直角坐标系中，已知动点、，点是线段的中点，且点在反比例函数的图象上，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴交于两点，点是直线上的动点，直线分别与曲线交于点(异于点)．求证：直线过定点．

3 . 在平面直角坐标系中，动点P与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)以原点O为端点作两条互相垂直的射线与曲线C分别交于点M,N．求证：是定值．

4 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上.为原点，且．
(1)若点为的中点，求的长度；
(2)过作直线与的右支交于两点，当的面积为时，求直线的方程．

5 . 已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长.

6 . 已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．

7 . 椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是，到椭圆两个焦点的距离之和为4
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；

8 . 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的实轴长为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值.

9 . 在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8.
(1)求点A的轨迹方程；
(2)记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程.

10 . （1）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程及两条渐近线的夹角；
（2）若双曲线中心在原点，一条渐近线方程为，实轴长为8，求双曲线方程.