1 . 已知函数，其中.
（1）求的单调区间；
（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；
（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.

2 . 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，设且，证明：．

3 . 已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上的最小值是，求的值；
（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为，证明：.

4 . 设和是函数的两个极值点,其中.
（1）求的取值范围;
（2）若为自然对数的底数),求的最大值.

5 . 已知函数，设
（1）求的单调区间；
（2）若以 图象上任意一点 为切点的切线的斜率   恒成立，求实数的最小值；
（3）是否存在实数，使得函数 的图象与 的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．