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1 . 欧拉公式(本题中e为自然对数的底数,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.设复数的共轭复数为______
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解题方法
2 . 被称为“欧拉公式”,之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,则我们可以简化复数乘法.
(1)已知,求;
(2)已知O为坐标原点,,且复数在复平面上对应的点分别为,点C在上,且,求;
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式,过程如下:
,所以.
类比上述过程,求出.(将表示成的式子,将表示成的式子)(参考公式:)
(1)已知,求;
(2)已知O为坐标原点,,且复数在复平面上对应的点分别为,点C在上,且,求;
(3)利用欧拉公式可推出二倍角公式,过程如下:
,所以.
类比上述过程,求出.(将表示成的式子,将表示成的式子)(参考公式:)
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2024·全国·模拟预测
3 . 对于非空集合,定义其在某一运算(统称乘法)“×”下的代数结构称为“群”,简记为.而判断是否为一个群,需验证以下三点:
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
1.(封闭性)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
2.(结合律)对于规定的“×”运算,对任意,都须满足;
3.(恒等元)存在,使得对任意,;
4.(逆的存在性)对任意,都存在,使得.
记群所含的元素个数为,则群也称作“阶群”.若群的“×”运算满足交换律,即对任意,,我们称为一个阿贝尔群(或交换群).
(1)证明:所有实数在普通加法运算下构成群;
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合,请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群,并说明理由;
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群?请说明理由.
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2024·宁夏·一模
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4 . 在复平面内,复数对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:,,则,由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则复数所对应的点位于( ).
A.第一象限 | B.第二象限 | C.第三象限 | D.第四象限 |
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2024-03-03更新
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920次组卷
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6卷引用:7.1.2复数的几何意义(第1课时)
(已下线)7.1.2复数的几何意义(第1课时)(已下线)第七章 本章综合--方法提升应用【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路四川外语学院重庆市第二外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题宁夏银川一中、昆明一中2024届高三下学期3月联合考试(一模)理科数学试卷(已下线)第2套 重组模拟卷(模块二 2月开学)(已下线)考点7 复数的四则运算 --2024届高考数学考点总动员【练】
5 . 给定正整数n,记S(n)为所有由2n个非负实数组成的2行n列的数表构成的集合.对于AS(n),用,分别表示的第i行,第j列各数之和(i=1,2;j=1,2,...,n).将A的每列的两个数中任选一个变为0(可以将0变为0)而另一个数不变,得到的数表称为A的一个残表.
(1)对如下数表A,写出A的所有残表A',使得;
(2)已知AS(2)且(j=1,2),求证:一定存在A的某个残表A'使得,均不超过;
(3)已知AS(23)且(j=1,2,...,23),求证:一定存在A的某个残表A'使得,均不超过6.
(1)对如下数表A,写出A的所有残表A',使得;
0.1 | 0.1 | 1 |
0 | 0 | 0.1 |
(3)已知AS(23)且(j=1,2,...,23),求证:一定存在A的某个残表A'使得,均不超过6.
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6 . 通过平面直角坐标系,我们可以用有序实数对表示向量.类似的,我们可以把有序复数对看作一个向量,记,则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则,对于,,、、、、,我们有如下运算法则:
①; ②;
③; ④.
(1)设,,求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①
② ③.
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若,集合,.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).
①; ②;
③; ④.
(1)设,,求和.
(2)由平面向量的数量积满足的运算律,我们类比得到复向量的相关结论:
①
② ③.
试判断这三个结论是否正确,并对正确的结论予以证明.
(3)若,集合,.对于任意的,求出满足条件的,并将此时的记为,证明对任意的,不等式恒成立.
根据对上述问题的解答过程,试写出一个一般性的命题(不需要证明).
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解题方法
7 . 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,下列说法中正确的是( )
A.对应的点位于第二象限 | B.为纯虚数 |
C.的模长等于 | D.的共轭复数为 |
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2023-04-21更新
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764次组卷
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5卷引用:湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(已下线)高一数学下学期第二次月考模拟试卷(第6章-第8章)(已下线)第五章 复数(综合检测卷)黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题广东省清远市三校2023-2024学年高一下学期4月期中联合考试数学试题
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8 . 欧拉(1707-1783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式,从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的取作就得到了欧拉恒等式,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数——自然对数的底数e,圆周率,两个单位——虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0,数学家评价它是“上帝创造的公式”,请你根据欧拉公式:,解决以下问题:
(1)将复数表示成(,i为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值.
(1)将复数表示成(,i为虚数单位)的形式;
(2)求的最大值.
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2023-04-12更新
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603次组卷
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5卷引用:重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题陕西省延安中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题上海市建平中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题黑龙江省佳木斯市第八中学2022-2023学年高一下学期5月期中数学试题(已下线)7.2.1?复数的加、?减运算及其几何意义——课后作业(基础版)
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解题方法
9 . 棣莫弗公式(为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667~1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数在复平面内所对应的点位于第( )象限.
A.第一象限 | B.第二象限 | C.第三象限 | D.第四象限 |
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10 . 含有有限个元素的数集,定义“交替和”如下:把集合中的数按从小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数.例如的交替和是;而的交替和是5,则集合的所有非空子集的交替和的总和为( )
A.32 | B.64 | C.80 | D.192 |
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2022-10-25更新
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421次组卷
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4卷引用:重庆市第十八中学2022-2023学年高一上学期10月能力摸底数学试题
重庆市第十八中学2022-2023学年高一上学期10月能力摸底数学试题(已下线)单元高难问题01集合中的新定义问题-【倍速学习法】(人教A版2019必修第一册)(已下线)专题1-1 集合与常用逻辑用语-1江西省南昌市第十九中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷