2024高三·全国·专题练习
1 . 三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);
(1)试估计班的学生人数;
(2)从班和班抽出的学生中,各随机选取一人,班选出的人记为甲,班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记,表格中数据的平均数记为 ,试判断和的大小,(结论不要求证明)
A班 | 6 | 7 | 8 | |||||
B班 | 6 | 7 | 8 | 10 | 11 | 12 | ||
C班 | 3 | 6 | 9 | 12 |
(2)从班和班抽出的学生中,各随机选取一人,班选出的人记为甲,班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记,表格中数据的平均数记为 ,试判断和的大小,(结论不要求证明)
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2 . 甲乙两人进行投篮比赛,两人各投一次为一轮比赛,约定如下规则:如果在一轮比赛中一人投进,另一人没投进,则投进者得1分,没进者得-1分,如果一轮比赛中两人都投进或都没投进,则都得0分,当两人各自累计总分相差4分时比赛结束,得分高者获胜.在每次投球中甲投进的概率为0.5,乙投进的概率为0.6,每次投球都是相互独立的.
(1)若两人起始分都为0分,求恰好经过4轮比赛,甲获胜的概率.
(2)若规定两人起始分都为2分,记()为甲累计总分为i时,甲最终获胜的概率,则
①求证()为等比数列
②求的值.
(1)若两人起始分都为0分,求恰好经过4轮比赛,甲获胜的概率.
(2)若规定两人起始分都为2分,记()为甲累计总分为i时,甲最终获胜的概率,则
①求证()为等比数列
②求的值.
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3 . 某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如图,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
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解题方法
4 . 某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率;
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
顾客人数 商品 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | × | √ |
217 | √ | √ | × | × |
200 | √ | √ | √ | × |
250 | √ | × | √ | × |
100 | × | × | × | √ |
133 | √ | × | √ | × |
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的,在近期内再对这四种商品购买情况进行调查,随机抽取4名顾客,试估计恰有2名顾客购买了两种商品,1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大.(结论不要求证明)
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名校
解题方法
5 . 在某抽奖活动中,初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球,颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下:设定抽中红球为中奖,抽中白球为未中奖;若抽到白球,放回后把袋中的一个白色小球替换为红色;若抽到红球,放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为.
(1)求,;
(2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少?
(1)求,;
(2)若存在实数a,b,c,对任意的不小于4的正整数n,都有,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少?
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6 . 一位外地游客到永州市旅游,其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5,0.5,0.6,且该游客是否游览哪个景点互不影响.设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差.
(1)记“”为事件A,求的值.
(2)记“函数,在区间上单调递增”为事件B,求的值.
(函数的单调性只需判断,不要求证明)
(1)记“”为事件A,求的值.
(2)记“函数,在区间上单调递增”为事件B,求的值.
(函数的单调性只需判断,不要求证明)
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解题方法
7 . 现有形状、大小完全相同的20个标记了数字1的红球、40个标记了数字2的红球、10个标记了数字1的白球、20个标记了数字2的白球,运用分层抽样方法从中抽取9个球后,放入一个不透明的布袋中.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数;
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球,每次取1个,
记事件第一次取到是红球,事件第一次取到了标记数字1的球,
事件第一次取到了标记数字2的球,事件第二次取到了标记数字1的球,
①求证:;
②判断:与是否相互独立?请说明理由.
(1)求不透明的布袋中4种球的个数;
(2)从布袋中不放回地随机取2个小球,每次取1个,
记事件第一次取到是红球,事件第一次取到了标记数字1的球,
事件第一次取到了标记数字2的球,事件第二次取到了标记数字1的球,
①求证:;
②判断:与是否相互独立?请说明理由.
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2023-11-21更新
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657次组卷
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5卷引用:考点10 各类事件的辨析 2024届高考数学考点总动员
(已下线)考点10 各类事件的辨析 2024届高考数学考点总动员(已下线)模块二 专题5 概率中的创新问题广东省东莞市南城开心实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷10.2事件的相互独立性练习云南省保山市、文山州2023-2024学年高二上学期1月期末质量监测数学试题
8 . 在机器学习中,精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标.科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果,将模拟战场分为100个位点,并在部分位点部署地雷.扫雷机器人依次对每个位点进行检测,表示事件“选到的位点实际有雷”,表示事件“选到的位点检测到有雷”,定义:精确率,召回率,卡帕系数,其中.
(1)若某次测试的结果如下表所示,求该扫雷机器人的精确率和召回率.
(2)对任意一次测试,证明:.
(3)若,则认为机器人的检测效果良好;若,则认为检测效果一般;若,则认为检测效果差.根据卡帕系数评价(1)中机器人的检测效果.
(1)若某次测试的结果如下表所示,求该扫雷机器人的精确率和召回率.
实际有雷 | 实际无雷 | 总计 | |
检测到有雷 | 40 | 24 | 64 |
检测到无雷 | 10 | 26 | 36 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
(2)对任意一次测试,证明:.
(3)若,则认为机器人的检测效果良好;若,则认为检测效果一般;若,则认为检测效果差.根据卡帕系数评价(1)中机器人的检测效果.
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9 . 果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵而成.研究表明,果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌(A型,B型,C型)分别对三组(每组10瓶)相同的水果原液进行发酵,一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量,实验过程中部分发酵液因被污染而废弃,最终得到数据如下(“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺):
根据发酵液中该酯类化合物的含量t(μg/L)是否超过某一值来评定其品质,其标准如下:
假设用频率估计概率
(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶,求其品质高的概率;
(2)设事件D为“从样本含A型,B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶,这三瓶中至少有一瓶品质高”,求事件D发生的概率;
(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶,这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与(2)中事件D发生的概率的大小.(结论不要求证明)
酵母菌类型 | 该酯类化合物的含量(μg/L) | |||||||||
A型 | X | 2747 | 2688 | X | X | 2817 | 2679 | X | 2692 | 2721 |
B型 | 1151 | X | 1308 | X | 994 | X | X | X | 1002 | X |
C型 | 2240 | X | X | 2340 | 2318 | X | 2519 | 2162 | X | X |
酵母菌类型 | 品质高 | 品质普通 |
A型 | ||
B型 | ||
C型 |
(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶,求其品质高的概率;
(2)设事件D为“从样本含A型,B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶,这三瓶中至少有一瓶品质高”,求事件D发生的概率;
(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶,这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与(2)中事件D发生的概率的大小.(结论不要求证明)
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2023-05-05更新
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1027次组卷
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3卷引用:北京市朝阳区2023届高三二模数学试题
解题方法
10 . 春节将至,又是一年万家灯火的团圆之时.方方正正的小城里,住着户人家,恰好构成了坐标平面上集合的所有点.夜里,小城的人家挂上大红灯笼,交相辉映,将小城的夜晚编织成发光的大网.在坐标平面上看,A中的每个点均独立地以概率p被点亮,或以的概率保持暗灭.若A中两个点的距离为1,则这两个点被称为是相邻的.若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列,则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”.规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”.
(1)给定A中3个依次相邻的点,记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值,试直接写出随机变量X的分布列(用p表示);
(2)若,证明:存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01;
(3)若,证明:存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99.
(1)给定A中3个依次相邻的点,记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值,试直接写出随机变量X的分布列(用p表示);
(2)若,证明:存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01;
(3)若,证明:存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99.
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