1 . 给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、…，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止．
（1）判断，，…的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（2）当构成第组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证；
（3）对任何满足条件T的有限个正数，证明：．

2 . 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：
①对任意，存在使得；
②对任意，存在，使得（其中）．
（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

3 . 已知函数.
（1）设，证明:；
（2）设，证明:；
（3）设都是正数，且，求的最小值.

4 . （1）解不等式.
（2）设表示的解集；表示不等式对任意恒成立的的集合，求；
（3）设关于的不等式的解集为，试探究是否存在自然数，使得不等式与的解都属于，若不存在，说明理由.若存在，请求满足条件的的所有的值.

5 . 定义:记为这个实数中的最小值，记为这个实数中的最大值，例如:.
（1）求证:；
（2）已知，求的最小值；
（3）若，求的最小值.

6 . 已知
(1)解不等式；
(2)恒成立，求的取值范围.

7 . 若实数满足，则称比远离，
(1)若比远离，求的取值范围；
(2)对于任意的两个不相等的正数，是否比远离？写出你的结论并加以证明；
(3)对于任意的，是否存在，使得比远离？如果存在，求出的范围；如果不存在，说明理由.

8 . 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该直角三角形的面积”，求出面积6后，它的一个“逆向”问题可以是“若直角三角形的面积为6，一条直角边长为3，求另一条直角边的长”.试给出问题“已知，若，求的取值范围”的一个“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

9 . 定义：若函数对任意的，都有成立，则称为上的“淡泊”函数.
（1）判断是否为上的“淡泊”函数，说明理由；
（2）是否存在实数，使为上的“淡泊”函数，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由；
（3）设是上的“淡泊”函数（其中不是常值函数），且，若对任意的，都有成立，求的最小值.

10 . 若函数满足：对任意实数以及定义中任意两数、（），恒有，则称是下凸函数.
（1）证明：函数是下凸函数；
（2）判断是不是下凸函数，并说明理由；
（3）若是定义在上的下凸函数，常数，满足：，，且，求证：，并求在上的解析式.