1 . 设
是质数，数列
满足
，
，且对任意非负整数
有
.若
是数列中的项，试求的所有可能值.
是质数，数列满足，，且对任意非负整数有.若是数列中的项，试求的所有可能值.
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2 . 设
为给定的正整数.求所有正整数
，使得存在
，
，且恰有个不同的质因子.
为给定的正整数.求所有正整数，使得存在，，且恰有个不同的质因子.
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3 . 对于整数
，是否存在正整数
及质数
，使得对任意正整数
，
中至少有一个是质数？
，是否存在正整数及质数，使得对任意正整数，中至少有一个是质数？
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4 . 试求出最小的正整数，使得同时满足：
（1）
（
对表示不大于
的最大整数）；
（2）
被190除所得的余数为11.
，使得同时满足：（1）
（对表示不大于的最大整数）；（2）
被190除所得的余数为11.
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5 . (1)证明:存在无穷多个正整数,使
与
同时为合数.
(2)试判断是否存在正整数
,使得对于任意的
,总有
与
之一为质数?并证明你的结论.
,使与同时为合数.(2)试判断是否存在正整数
,使得对于任意的,总有与之一为质数?并证明你的结论.
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6 . （1）求证：存在无穷多个正整数，使得和同时是合数；
（2）试判断，是否存在正整数
，使得对于任意正整数
，总有
和
之一为质数？并证明你的结论．
，使得和同时是合数；（2）试判断，是否存在正整数
，使得对于任意正整数，总有和之一为质数？并证明你的结论．
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7 . 求最小正整数，使得任何元正整数集合
中都有15个元素，其和能被15整除．
，使得任何元正整数集合中都有15个元素，其和能被15整除．
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8 . 设为正整数，为奇数.证明：存在正整数，使得
.
为正整数，为奇数.证明：存在正整数，使得.
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9 . 已知为大于3的素数，
的标准分解式为
，证明：
.
为大于3的素数，的标准分解式为，证明：.
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10 . 设
，其中，b为正奇数.定义数列
满足
，
.若正整数
，使得
为素数.证明：
.
，其中，b为正奇数.定义数列满足，.若正整数，使得为素数.证明：.
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