1 . 用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：．

2 . 已知函数.
(1)判断在上的单调性，并证明；
(2)若，且，，都为正数，求证：.

3 . 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
(1)试证明：设，，若，在上分别以M，N为上界，求证：函数在上以为上界.
(2)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.

4 . 已知是定义在上的奇函数，且．
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求证：的值域为．

5 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，请判断函数的单调性，并用定义证明.

6 . 如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，，分别是，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值；
(3)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

7 . 设是定义在上的函数，对任意的，恒有，且当时，．
(1)求．
(2)证明：时，恒有．
(3)求证：在上是减函数．

8 . 如图，在长方体中，、分别是和的中点．

(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．

9 . 如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．

10 . 问题：已知均为正实数，且，求证：.
证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若实数满足，试比较和的大小，并说明理由；
(2)求的最小值，并求出使得最小的的值.