1 . 在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，定义与的差为与之间的距离为．
(1)若维数组，证明：；
(2)证明：对任意的数组，有；
(3)设集合，若集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：．

2 . 已知函数.
（1）若，分析的单调性.
（2）若对，都有恒成立，求的取值范围；
（3）证明：对任意正整数均成立，其中为自然对数的底数.

3 . 如图1，在直角梯形中，，，，，，为上一点，且，过作交于，现将沿折到，使，如图2.

（1）求证：平面
（2）在线段上是否存在一点，使与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

4 . 已知函数，，.
（1）求证:；
（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.

5 . 设．
（1）求证：在区间上没有零点；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

6 . 已知直四棱柱，四边形为正方形，，为棱的中点．

（1）求三棱锥的体积；
（2）求证：；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．

7 . 若不等式对于任意都成立.
（1）求的值；
（2）若正实数，满足，求证:.

8 . 如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.

（1）证明：平面平面；
（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.

9 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.

（1）若为的中点，求证：面；
（2）若二面角为，设，试确定的值.

10 . 已知数列的前n项和为，对任意正整数n，点都在函数的图象上，且在点处的切线的斜率为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证：.