1 . 设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：
①；
②对于任意正整数；
③对于任意正整数；
④对于任意正整数．
则所有的真命题为（       ）

A．①④

B．②

C．①②③

D．①②④

2 . 已知为正整数，数列，记.对于数列，总有，则称数列为项数列.若数列，均为项数列，定义数列，其中.
(1)已知数列，求的值；
(2)若数列均为项数列，求证：；
(3)对于任意给定的正整数，是否存在项数列，使得，并说明理由.

3 . 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)若，判断并证明当增大时，的变化趋势；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.

4 . 函数，给出下列四个结论：
①的值域是；
②且，使得；
③任意且，都有；
④规定，其中，则．
其中，所有正确结论的序号是______________．

7 . 古希腊数学家普洛克拉斯指出：“哪里有数，哪里就有美.”“对称美”是数学美的重要组成部分，在数学史上，人类对数学的对称问题一直在思考和探索，图形中对称性的本质就是点的对称、线的对称.如正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称性也是函数一个非常重要的性质.如果一个函数的图象经过某个正方形的中心并且能够将它的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个正方形的“优美函数”.下列关于“优美函数”的说法中正确的有（       ）

A．函数可以是某个正方形的“优美函数”

B．函数只能是边长不超过的正方形的“优美函数”

C．函数可以是无数个正方形的“优美函数”

D．若函数是“优美函数”，则的图象一定是中心对称图形

8 . 正项数列满足，记表示不超过的最大整数，则_______．

9 . 定义“正对数”:，若a>0，b>0，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．