1 . 已知函数，在区间上有最大值，最小值.
(1)求实数，的值；
(2)存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围.

2 . 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．

(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．

3 . 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为______；该正四棱锥的外接球的体积为______.

4 . 已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（       ）

A．若是中点，则

B．若，则

C．与不共线

D．若，则

5 . 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（       ）
   

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形

B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4

C．勒洛四面体的体积是

D．勒洛四面体内切球的半径是

6 . 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），部件的面积是．
   
(1)求关于的函数解析式，并求出定义域；
(2)为节省材料，请问取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？

7 . 已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（       ）

A．

B．

C．

D．-1

8 . 已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.

9 . 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．

(1)当时，求四边形的面积；
(2)求灯柱的高（用表示）；
(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．

10 . 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（       ）

A．

B．在向量上的投影向量为

C．若，则为的中点

D．若在线段上，且，则的取值范围为