1 . 设是集合的一族不同的子集，它们两两的交都不是空集，而的其他子集不能与的交都是非空集合，则______.

2 . 对自然数，表示的最大奇因子（例如，）.求（其中是自然数）.

3 . 设，，以表示不是的因数的最小自然数，例如.若，又可作等等.如果，那么叫做的长度.对一切，，用列举法表示的长度构成的集合是______.

4 . 自然数使得.则______.（其中表示不超过的最大整数，例如）

5 . 设三角形的三边长为6，8，10，是该三角形内的点.则到这三角形的三边距离的乘积的最大值是______.

6 . 在半径为1的圆内任给14个点，求证：其中必有两点的距离小于0.72.

7 . 实数满足及.则的最小值是______.

8 . 设抛物线的焦点为，以与为焦点作一椭圆，使其与已知抛物线有公共点.当长轴最短时，椭圆的方程是______.

9 . 给定，，，所对的边分别是，，，在所在平面作直线与的某两边相交，沿将折成一个空间图形，将由分成的小三角形的不在上的顶点与另一部分的顶点连接，形成一个三棱锥或四棱锥．问：
（1）当时，如何作，并折成何种锥体，才能使所得锥体体积最大？（需详证）
（2）当时，如何作，并折成何种锥体，才能使所得锥体体积最大？（叙述结果，不要证明）

10 . 对于自然数和，求证是一个自然数的完全平方．