解题方法
1 . 常言道:文史不分家,其实数学与物理也不分家.“近代物理学之父”——牛顿大约在1671年,完成了《流数法和无穷级数》这部书,标志着微积分的正式创立.某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究,得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论.现从该校随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩,如表(单位:分)
(1)经过计算,得到学生的物理学习成绩x与数学学习成绩y满足回归方程.若某位学生的物理成绩为95分,请预测他的数学成绩;
(2)若要从抽取的这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查,记数学成绩不低于100分的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
物理成绩x | 63 | 68 | 74 | 76 | 85 | 90 |
数学成绩y | 90 | 95 | 110 | 110 | 125 | 130 |
(1)经过计算,得到学生的物理学习成绩x与数学学习成绩y满足回归方程.若某位学生的物理成绩为95分,请预测他的数学成绩;
(2)若要从抽取的这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查,记数学成绩不低于100分的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
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解题方法
2 . 睡眠是生命健康不可缺少的源泉,然而许多人被睡眠时长过短、质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日,这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况,将所得数据按照分成6组,制成如图所示的频率分布直方图:
(1)求的值,并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足,以频率代替概率,样本估计总体,在该高校学生中随机抽查3人,求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
(1)求的值,并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足,以频率代替概率,样本估计总体,在该高校学生中随机抽查3人,求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.
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名校
解题方法
3 . 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是:“当三角形的三个角均小于时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角;当三角形有一内角大于或等于时,所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点.已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,且,点为的费马点.
(1)求角;
(2)若,求的值;
(3)若,求的取值范围.
(1)求角;
(2)若,求的值;
(3)若,求的取值范围.
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2024-03-22更新
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967次组卷
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4卷引用:重庆市第十八中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
4 . 2023年10月11日,中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”,求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态,量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态,故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特,且自旋状态只有上旋与下旋两种状态,其中下旋表示“0”,上旋表示“1”,粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后,粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋,再输入第二道逻辑门后,粒子的自旋状态有的概率发生改变,记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率;
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为,,…,,则称(其中)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵;
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为(,2,3,⋯,,⋯).证明:当无限增大时,的数学期望趋近于一个常数.
参考公式:时,,.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2,且,求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率;
(2)若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥,记这些情况发生的概率分别为,,…,,则称(其中)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵;
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门,当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入,否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子,设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为(,2,3,⋯,,⋯).证明:当无限增大时,的数学期望趋近于一个常数.
参考公式:时,,.
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名校
解题方法
5 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受.形如的数称为复数,其中称为实部,称为虚部,i称为虚数单位,.当时,为实数;当且时,为纯虚数.其中,叫做复数的模.设,,,,,,如图,点,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应,反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.一般地,任何一个复数都可以表示成的形式,即,其中为复数的模,叫做复数的辐角,我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值,记作.叫做复数的三角形式.
(2)设复数,,其中,求;
(3)在中,已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①;
②,,.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
(1)设复数,,求、的三角形式;
(2)设复数,,其中,求;
(3)在中,已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容,证明:
①;
②,,.
注意:使用复数以外的方法证明不给分.
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2024-03-12更新
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487次组卷
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3卷引用:黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
名校
解题方法
6 . 固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出“悬链线”方程为,其中为参数.当时,就是双曲余弦函数,类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系,,,请写出,具有的类似的性质(不需要证明);
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)求的最小值.
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系,,,请写出,具有的类似的性质(不需要证明);
(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)求的最小值.
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2024-03-10更新
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956次组卷
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15卷引用:广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷
广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷(已下线)模块一 专题3 导数在研究函数极值和最值中的应用(B)(已下线)综合检测卷(数列+导数)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(北师大版2019选择性必修第二册)湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(已下线)模块四 专题1 高考新题型专练(新定义专练)(人教A)(高二)(已下线)高二下学期第一次月考模拟卷(新题型)(导数+计数原理)-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019)河北省正定中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题河北省邯郸市大名县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷山东省临沂市第二十四中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(已下线)模块一 专题3 《导数在研究函数极值和最值中的应用》B提升卷(苏教版)(已下线)模块三 专题3 高考新题型专练 专题2 新定义专练(苏教版)广东省深圳市高级中学(集团)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(已下线)上海市四校(复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学)2024届高三下学期3月联考数学试题变式题17-21
7 . 公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,这个圆被称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,,动点Q满足,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)直线与曲线交于两点,若,从中任选一个值,求此时相应的弦长.
(1)求曲线的方程;
(2)直线与曲线交于两点,若,从中任选一个值,求此时相应的弦长.
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名校
解题方法
8 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为,且
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
(1)求;
(2)若,设点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求实数的最小值.
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2024-03-03更新
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3559次组卷
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32卷引用:重庆市求精中学校2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题
重庆市求精中学校2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试题2024届高三新高考改革数学适应性练习(7)(九省联考题型)(已下线)第六章 本章综合--方法提升应用【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路河北省沧州市泊头市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题山东省实验中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段测试(3月)数学试题海南省海口市海南中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(已下线)模块五 专题四 全真能力模拟2(高一期中模拟)重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期第一阶段学业质量联合调研抽测(4月)数学试题河北省衡水市郑口中学2023-2024学年高一下学期质检一数学试题广东省中山市桂山中学2023-2024学年高一下学期第一次段考检测数学试题甘肃省张掖中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷四川省射洪中学校2023-2024学年高一强基班下学期第一次学月考试(4月)数学试题河南省郑州市基石中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题广东省东莞市东莞中学松山湖学校2023-2024学年高一下学期第一次段考数学试题安徽省皖北名校2023-2024学年高一下学期阶段性联考数学试卷广东省深圳外国语学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷吉林省长春市十一高中2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题湖北省武汉市第六中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷广东省江门市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次阶段考试数学试题湖南省慈利县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题单元测试A卷——第六章?平面向量及其应用上海市第二中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题山东省淄博市高青县第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题福建省浦城第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题上海市宜川中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题江苏省南京市中华中学2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题广东省广州市白云艺术中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题广东省广州市第六十五中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
解题方法
9 . 随着经济发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习.已知前四年,平台会员的个数如图所示:
(1)依据图中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数(千人),并求出你选择模型的解析式;
①,②且,③0且).
(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定无论怎样发展,会员人数不得超过千人,请依据(1)中你选择的函数模型求的最小值.
(1)依据图中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数(千人),并求出你选择模型的解析式;
①,②且,③0且).
(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定无论怎样发展,会员人数不得超过千人,请依据(1)中你选择的函数模型求的最小值.
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名校
10 . 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,阿波罗尼斯圆指的是已知动点与两定点Q,的距离之比(且),是一个常数,那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在直线上.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为,定点分别为椭圆:的右焦点与右顶点,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于,(点在x轴上方),点,是椭圆上异于,的两点,平分,平分.
①求的取值范围;
②设、的面积分别为、,当时,求直线的方程.
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