1 . 已知函数 ， ， ．

(1)当 时，讨论函数在区间 上的单调性．
(2)设是函数的最大值．求出的表达式并比较 与的大小．

2 . 已知椭圆的焦距为，且过点．

(1)求的方程．
(2)记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为．直线交椭圆于点（异于），直线交椭圆于点（异于）．若的中点为，求三角形面积的最大值．

3 . 已知数列满足，．

(1)证明：对任意的成立．
(2)记，求数列的前项和．
(3)证明：．

4 . 已知函数．
(1)求函数的极值点和零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．

5 . 为铭记历史，缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展了共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．
(1)若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，求这个问题回答正确的概率．

6 . 设函数，其中a为实数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．

7 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)设，求证：对任意的，都有成立.

8 . 已知数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

9 . 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.

10 . 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.