1 . 已知数列满足，.
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：.

2 . 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

3 . 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．

(1)证明：；
(2)求平面与平面的夹角的大小；
(3)求点D到平面的距离．

4 . 在棱长为1的正方体中，分别是，的中点.
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长.

5 . 如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，．

(1)求证：；
(2)求直线BD与AC所成角的大小．

6 . 如图，在正三棱柱中，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

7 . 已知函数，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若=0，求的值；
(3)证明：.

8 . 如图，在三棱锥中，底面，．点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)点在棱上，直线与所成角余弦值为，求线段长．

9 . 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

10 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， 、分别是、的中点，点在上，且满足．

(1)证明：；
(2)当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该最大角的正切值；
(3)若平面与平面所成的二面角为，试确定点的位置．