1 . 设数列的前n项和为，
（1）写出，，；
（2）求证：对任意，；
（3）求证：存在，．

2 . 已知为实数，数列满足，.
（Ⅰ）当和时，分别写出数列的前5项；
（Ⅱ）证明：当时，存在正整数，使得；
（Ⅲ）当时，是否存在实数及正整数，使得数列的前项和？若存在，求出实数及正整数的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知数列的前项和为，且满足，，设，.
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若，，求实数的最小值；
（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成（，且，）的形式，则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.

4 . 数列
满足：或1（k=1,2,…,n－1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
（1）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1,1,1,2,2,2；                  ②1,1,1,1,2,2,2,2；                 ③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（2）记．若m=3，求S的最小值；
（3）若m=2018，求n的最小值．

5 . 在中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点，…，，分别是线段，（，）的中点，设数列，满足：向量，有下列四个命题：
①数列是单调递增数列，数列是单调递减数列；
②数列是等比数列；
③数列有最小值，无最大值；
④若中，，，则最小时，
其中真命题是__________．

6 . 已知数列具有性质：对任意，，与两数至少有一个属于．
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．
（Ⅱ）求证：．
（Ⅲ）求证：．

7 . 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

8 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

9 . 已知数列满足，，数列的前n项和为,
，其中．
（1）求的值；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）是否存在，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．

10 . 若数列满足，数列为数列，记．
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由．