1 . 已知函数．
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为，求证;
（i）是一个递减数列
（ii）．

2 . 下列不等式中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为m的k增数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当时，若存在m的6增数列，求m的最小值；
(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.

4 . 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
(1)直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
(2)已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
(3)已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：．

5 . 设的定义域为R，若，都有，则称函数为“函数”．
(1)若在R上单调递减，证明是“函数”；
(2)已知函数．
①证明是上的奇函数，并判断是否为“函数”（无需证明）；
②若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

6 . 对于函数及实数m，若存在，使得，则称函数与具有“m关联”性质．
(1)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(2)已知，为定义在上的奇函数，且满足；
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有．
求证：与不具有“4关联”性．

7 . 设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（       ）

A．是奇函数

B．函数的图象关于点对称

C．点（其中）是函数的对称中心

D．

8 . 已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（       ）

A．存在实数，使得

B．

C．

D．为定值

9 . 若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.
(1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由：
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.