1 . 已知函数为奇函数，且方程有且仅有一个实根.
（1）求函数的解析式；
（2）设函数.求证：函数为偶函数.

2 . 已知二次函数，有两个零点为和．
(1)求、的值；
(2)证明：；
(3)用单调性定义证明函数在区间上是增函数；
(4)求在区间上的最小值．

3 . 已知二次函数的图象以原点为顶点且过点，函数的图象过点．
（1）求的解析式；
（2）证明：当时，函数有三个零点．

4 . 设函数.
（1）计算，，，；
（2）求函数的值域和零点；
（3）根据第一问计算结果，写出的两条正确性质，并证明其中一个.

5 . 定义在上的函数，如果对任意，恒有成立，则称为阶缩放函数．
（1）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求的值；
（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，，求证：函数在上无零点；
（3）已知函数为阶缩放函数，且当时， 的取值范围是，求在上的取值范围．

6 . 已知函数，
（1）判断函数在区间上零点的个数；
（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：.

7 . 已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并给予证明.
(2)若有唯一零点，求实数的取值范围.

8 . 已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且有恒成立.
（1）判断在上的单调性，并证明你的结论；
（2）若函数有零点,求实数的取值范围.

9 . 已知函数f(x)的定义域是R，且其图像是一条连续不断的曲线，给出一个满足以下条件的函数f (x)，并证明你的结论.
①f(x)是偶函数；
②f(x)在(0，+∞ )不是单调函数；
③f(x)恰有2个零点.

10 . 已知函数．
（1）若，求函数的零点；
（2）探索是否存在实数，使得函数为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说明理由．