名校
1 . 已知函数,,.
(1)当时,判断函数的奇偶性并证明;
(2)当且时,利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增;
(3)求证:当且时,方程在内有实数解.
(1)当时,判断函数的奇偶性并证明;
(2)当且时,利用函数单调性的定义证明函数在上单调递增;
(3)求证:当且时,方程在内有实数解.
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2 . 某同学解答一道导数题:“已知函数f(x)=sinx,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线为l.求证:直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象.”
该同学证明过程如下:
证明:因为f(x)=sinx,
所以.
所以.
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
若想证直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象,
只需证g(x)=f(x)﹣x=sinx﹣x在x=0两侧附近的函数值异号.
由于g'(x)=cosx﹣1≤0,
所以g(x)在x=0附近单调递减.
因为g(0)=0,
所以g(x)在x=0两侧附近的函数值异号.
也就是直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象.
参考该同学解答上述问题的过程,请你解答下面问题:
已知函数f(x)=x3﹣ax2,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线为l.若l在点P处穿过函数f(x)的图象,则a的值为( )
该同学证明过程如下:
证明:因为f(x)=sinx,
所以.
所以.
所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.
若想证直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象,
只需证g(x)=f(x)﹣x=sinx﹣x在x=0两侧附近的函数值异号.
由于g'(x)=cosx﹣1≤0,
所以g(x)在x=0附近单调递减.
因为g(0)=0,
所以g(x)在x=0两侧附近的函数值异号.
也就是直线l在点(0,0)处穿过函数f(x)的图象.
参考该同学解答上述问题的过程,请你解答下面问题:
已知函数f(x)=x3﹣ax2,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线为l.若l在点P处穿过函数f(x)的图象,则a的值为( )
A.3 | B. | C.0 | D.﹣3 |
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名校
3 . 已知函数.请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,解答下面的问题.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答记分.
(1)求实数k的值;
(2)设函数,判断函数在区间上的单调性,并给出证明;
(3)设函数,指出函数在区间上的零点个数,并说明理由.
条件①:;
条件②:.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答记分.
(1)求实数k的值;
(2)设函数,判断函数在区间上的单调性,并给出证明;
(3)设函数,指出函数在区间上的零点个数,并说明理由.
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2024-01-17更新
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368次组卷
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5卷引用:北京市海淀区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
4 . 若函数满足下列条件:在定义域内存在,使得成立,则称函数具有性质:反之,若不存在,则称函数不具有性质.
(1)判断函数是否具有性质,若具有性质,求出对应的的值;若不具有性质,说明理由.
(2)已知函数具有性质,求的取值范围.
(3)证明函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质,若具有性质,求出对应的的值;若不具有性质,说明理由.
(2)已知函数具有性质,求的取值范围.
(3)证明函数具有性质.
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名校
5 . 若点在函数的图象上,且满足,则称是的点. 函数的所有点构成的集合称为的集.
(1)判断是否是函数的点,并说明理由;
(2)若函数,求的集;
(3)若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集,求证:.
(1)判断是否是函数的点,并说明理由;
(2)若函数,求的集;
(3)若定义域为的连续函数的集是实数集的真子集,求证:.
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6 . 设函数,其中.函数是函数的导函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:当时,函数有且仅有一个零点,且;
(3)若,讨论函数的零点个数(直接写出结论).
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:当时,函数有且仅有一个零点,且;
(3)若,讨论函数的零点个数(直接写出结论).
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2023-03-27更新
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501次组卷
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2卷引用:北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2023届高三零模数学试题
7 . 已知函数,其中.
(1)证明:有唯一零点.
(2)设为函数的零点,证明:
①;
②.
参考数据:.
(1)证明:有唯一零点.
(2)设为函数的零点,证明:
①;
②.
参考数据:.
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名校
8 . 已知函数(且)的图象经过点.
(1)求a的值及在区间上的最大值;
(2)若,求证:在区间内存在零点.
(1)求a的值及在区间上的最大值;
(2)若,求证:在区间内存在零点.
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2023-01-04更新
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223次组卷
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5卷引用:北京市通州区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
北京市通州区2021-2022学年高一上学期期末数学试题河南省濮阳市第一高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题(已下线)重难点03函数(15种解题模型与方法)(1)宁夏银川市永宁县三沙源上游高级中学2023-2024学年高一上学期第三次月考数学试题(已下线)第四章 指数函数与对数函数单元测试基础卷-人教A版(2019)必修第一册
名校
9 . 若在定义域内存在实数,使得成立,则称函数有“飘移点”.
(1)函数是否有“飘移点”?请说明理由;
(2)证明函数在上有“飘移点”;
(3)若函数在上有“飘移点”,求实数a的取值范围.
(1)函数是否有“飘移点”?请说明理由;
(2)证明函数在上有“飘移点”;
(3)若函数在上有“飘移点”,求实数a的取值范围.
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2023-01-05更新
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510次组卷
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6卷引用:北京十一实验中学2022-2023学年高一上学期期末教与学诊断数学试题
名校
解题方法
10 . 若点在函数的图象上,且满足,则称是的点.函数的所有点构成的集合称为的集.
(1)判断是否是函数的点,并说明理由;
(2)若函数的集为,求的最大值;
(3)若定义域为的连续函数的集满足,求证:.
(1)判断是否是函数的点,并说明理由;
(2)若函数的集为,求的最大值;
(3)若定义域为的连续函数的集满足,求证:.
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2022-07-07更新
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1970次组卷
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8卷引用:北京市海淀区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题
北京市海淀区2021-2022学年高一下学期期末练习数学试题北京市第十四中学2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷上海市复旦大学附属中学2023届高三上学期9月月考数学试题河南省周口市淮阳区淮阳中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题安徽省安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题(已下线)第5章 三角函数(基础、典型、易错、压轴)分类专项训练(2)广西桂林市第十八中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(A卷)(已下线)上海市高一下学期期末真题必刷04-期末考点大串讲(沪教版2020必修二)