1 . 已知函数和的定义域分别是A和B，若函数和同时满足下列两个条件：
①对任意的，都有或对任意的，都有；
②存在，使得．
则称和互为“依偎函数”，记作，其中，叫做“依偎点”．
(1)是否存在有无数个“依偎点”？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由；
(2)若函数，，是否存在k，使得如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由；
(3)求证：，其中．

2 . 已知，函数，．
(1)若，证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)设集合，对于正整数m，集合，记中元素的个数为，求数列的通项公式．

3 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．

4 . 记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.

5 . 若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.

6 . 已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为__________．

7 . 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．

8 . 记数列的前项和为，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，证明对任意，；
(3)某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）.
参考数据：，，

9 . 有两个点在轴上移动，时刻的位置分别由函数和确定，在时段内两点重合的时刻有（       ）.

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

10 . 定义函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．
（注：…是自然对数的底数）