1 . 已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：对任意的
，
．
.(1)讨论函数
的单调性；(2)当
时，证明：对任意的，．
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2 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数
满足在闭区间
连续，在开区间
内可导，且
，那么在区间内至少存在一点
，使得
．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间
连续，在区间上可导，则存在
，使得
．
(2)已知函数
，若对于区间
内任意两个不相等的实数
，都有
成立，求实数
的取值范围．
(3)证明：当
时，有
．
满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．(1)运用罗尔定理证明：若函数
在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．(2)已知函数
，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．(3)证明：当
时，有．
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3 . 已知函数
，
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有三个不同的实根，求
的取值范围．
，.(1)当
时，求的单调区间；(2)若方程
有三个不同的实根，求的取值范围．
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7日内更新
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1487次组卷
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3卷引用：湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试题
4 . 若函数
，且
的图象与直线
没有交点，则的取值范围是______ .
，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是
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解题方法
5 . 已知函数
．
(1)当时，求函数
在
处的切线方程；
(2)
时；
（ⅰ）若
，求的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
．(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)
时；（ⅰ）若
，求的取值范围；（ⅱ）证明：
．
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6 . 已知
为正实数，构造函数
．若曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)求证：
．
为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．(1)求
的值；(2)求证：
．
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7 . 已知函数是定义在
上的连续函数，且在定义域上处处可导，
是的导函数，且
，则（ ）
是定义在上的连续函数，且在定义域上处处可导，是的导函数，且，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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8 . 超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：
（
，
，…，
，
）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率
是超越数．回答下列问题：
已知函数
（
）只有一个正零点．
(1)求数列
的通项公式；
(2)（ⅰ）构造整系数方程
，证明：若
，则
为有理数当且仅当
．
（ⅱ）数列中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
（，，…，，）．数学家证明了自然对数的底数e与圆周率是超越数．回答下列问题：已知函数
（）只有一个正零点．(1)求数列
的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程
，证明：若，则为有理数当且仅当．（ⅱ）数列
中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．
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解题方法
9 . 已知函数
，若
恒成立，则，的可能取值为（ ）
，若恒成立，则，的可能取值为（ ）A．， | B． ， |
C． ， | D． ， |
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10 . 已知函数
，其中
为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：
；
(3)设
，若存在实数
使得
，求的最大值.
，其中为自然对数的底数.(1)求函数
的单调区间；(2)证明：
；(3)设
，若存在实数使得，求的最大值.
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