1 . 已知函数
．
(1)讨论
的零点个数；
(2)若存在两个极值点，记
为的极大值点，
为的零点，证明：
．
．(1)讨论
的零点个数；(2)若
存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：．
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解题方法
2 . 设
是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程
有实根；②在定义域区间
上可导，且
满足
.
(1)判断
，
是否是集合中的元素，并说明理由；
(2)设函数为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意
、
，都有
.
是由满足下列条件的函数构成的集合：①方程有实根；②在定义域区间上可导，且满足.(1)判断
，是否是集合中的元素，并说明理由；(2)设函数
为集合中的任意一个元素，证明：对其定义域区间中的任意、，都有.
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3 . 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数
，若对在定义域内的给定常数
，存在数列
满足
在的定义域内且
，且对
在区间
的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于
和
的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数
，证明：
都存在“关联切线伴随数列”；
(2)若函数
，数列为函数
的“1关联切线伴随数列”，且
，求的通项公式；
(3)若函数
，数列
为函数
的“
关联切线伴随数列”，记数列的前
项和为
，证明：当
时，
.
，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.(1)若函数
，证明：都存在“关联切线伴随数列”；(2)若函数
，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式；(3)若函数
，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，.
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解题方法
4 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：是增函数.
(2)若
恒成立，求的取值范围.
(3)证明：
（
，
）.
.(1)当
时，证明：是增函数.(2)若
恒成立，求的取值范围.(3)证明：
（，）.
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2024·湖南·一模
名校
解题方法
5 . 已知函数
．
(1)当时，求函数在
处的切线方程；
(2)
时；
（ⅰ）若
，求的取值范围；
（ⅱ）证明：
．
．(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)
时；（ⅰ）若
，求的取值范围；（ⅱ）证明：
．
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6 . 已知
.
(1)当
时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，
，证明：
.
.(1)当
时，求的单调区间；(2)若
有两个极值点，，证明：.
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7 . 已知函数
，
，
（
）．
(1)证明：当
时，
；
(2)讨论函数
在
上的零点个数．
，，（）．(1)证明：当
时，；(2)讨论函数
在上的零点个数．
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解题方法
8 . 已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若，
，且
，证明：
.
.(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)若
，，且，证明：.
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2024-04-20更新
|
1005次组卷
|
2卷引用：广东省湛江市2024届高三下学期二模考试数学试题
9 . 已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若存在两个零点
，证明：
存在三个零点
，且
(3)在（2）的条件下，证明：
．
．(1)讨论
的单调性；(2)若
存在两个零点，证明：存在三个零点，且(3)在（2）的条件下，证明：
．
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解题方法
10 . 数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量
，其模定义为
.类似地，对于行列的矩阵
，其模可由向量模拓展为
（其中
为矩阵中第
行第
列的数，
为求和符号），记作
，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)
，
，矩阵
，求使
的的最小值.
(2)，，，矩阵
求
.
(3)矩阵
，证明：，，
.
，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.(1)
，，矩阵，求使的的最小值.(2)
，，，矩阵求.(3)矩阵
，证明：，，.
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