1 . 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角C的大小；
(2)CD为△ACB的内角平分线，且CD与直线AB交于点D.
（i）求证:；
（ii）若，，求CD的长.

2 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得，在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．
   
(1)在某次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．
(2)在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角．证明：．

3 . 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；
①；②；③.
(2)若点M为外的一点，且，.当为等边三角形时，求四边形面积的取值范围.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

4 . 已知，，分别为三个内角 ，，的对边，且.
(1)证明：；
(2)若为的中点，且，，求的周长.

5 . 锐角中，内角所对的边分别为，且，.
(1)求证：；
(2)将延长至，使得，记的内切圆与边相切于点，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

6 . 如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，.

(1)求的长；
(2)设，写出与的函数关系式；
(3)已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？

7 . 记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.

8 . 如图，在梯形ABCD中，，．

(1)求证：；
(2)若，，求梯形ABCD的面积．

9 . 在中，角对应的边分别为，已知.
(1)若，求周长的最大值；
(2)若，证明：.

10 . 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．
(1)证明：；
(2)求的取值范围．