1 . 数列满足．
（1）计算，，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

2 . 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合．
对于A∈S(m,n),记r_i(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：
记K(A)为∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值．
对如下数表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

（2）设数表A∈S（2,3）形如

1	1	c
a	b	-1

求K（A）的最大值；
（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值．

3 . 记为不超过实数的最大整数，例如，，，．设为正整数，数列满足，，现有下列命题：
①当时，数列的前3项依次为5,3,2；
②对数列都存在正整数，当时总有；
③当时，；
④对某个正整数，若，则．
其中的真命题有____________．（写出所有真命题的编号）

4 . 已知各项均为非负整数的数列，，，，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为，，，，0，，，．设，，1，．
（1）若数列，1，1，3，0，0，试写出数列；若数列，0，0，0，0，试写出数列；
（2）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；
（3）若数列经过有限次变换，可变为数列．设，，2，，，求证，其中表示不超过的最大整数．

5 . 设数列 中，若 ，则称数列为“凸数列”．
（Ⅰ）设数列为“凸数列”，若 ，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（Ⅱ）在“凸数列”中，求证： ；
（Ⅲ）设，若数列为“凸数列”，求数列前n项和 ．

6 . 函数的定义域为R，数列满足（且）．
（Ⅰ）若数列是等差数列，，且（为非零常数，且），求的值；
（Ⅱ）若，，，数列的前项和为，对于给定的正整数，如果的值与无关，求的值．

7 . 若有穷数列满足：（1）首项，末项，（2） 或，（），则称数列为k的m阶数列．
（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；
（Ⅱ）设数列是各项为自然数的递增数列，若，且，求m的最小值．

8 . 已知数列：，如果数列：满足，其中，则称为的“衍生数列”.
（1）写出数列：，，，的“衍生数列”；
（2）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；
（3）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数
列的首项取出，构成数列：证明： 是等差数列.

9 . 数列，（）由下列条件确定：①；②当时，与满足：当时，；当时，，.
（Ⅰ）若，，写出，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）在数列中，若 (,且)，试用表示；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列满足，， (其中m为给定的不小于2的整数)，求证：当时，恒有.

10 . 已知，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若在数列中，，，计算，并由此猜想通项公式；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想.