1 . 设非常数数列满足，，其中常数，均为非零实数，且.
（1）证明：数列为等差数列的充要条件是；
（2）已知，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项.

2 . 设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：①；②存在实数M，使a_n≤M（n为正整数）
（1）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3，a₄＝4，a₅＝5，b₁＝1，b₂＝4，b₃＝5，b₄＝4，b₅＝1，试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（2）设{c_n}是等差数列，s_n是其前n项和，c₃＝4，s₃＝18，证明数列{s_n}∈W，并写出M的取值范围；
（3）设数列{d_n}∈W，对于满足条件的M的最小值M₀，都有d_n≠M₀（n∈N^*）求证：数列{d_n}单调递增．

3 . 设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．
（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
（2）已知数列为“好”数列．
① 若，求数列的通项公式；
② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．

4 . 已知整数数列满足：①；②．
(1)若，求；
(2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项；

5 . 已知数列的各项均为正数，给定正整数k，若对任意的且，都有成立，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，且，，求数列的通项公式；
(2)若数列既具有性质，又具有性质；证明：数列是等比数列.

6 . 定义:在数列中,若存在正整数,使得,都有,则称数列为“型数列”.已知数列满足.
(1)证明:数列为“3型数列”;
(2)若,数列的通项公式为,求数列的前15项和.

7 . 已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.

8 . 设等差数列的公差为()，已知.
（1）求；
（2）若，求证：.

9 . 首项为0的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②．
（Ⅰ）请写出的所有可能值：
（Ⅱ）求证：对任意正整数中至少有一个小于0；
（Ⅲ）对于给定的正整数k，求的最大值．

10 . 对于数列，定义 设的前项和为.
（1）设，写出；
（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
（3）已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有；
②.
求所有满足条件的数列的个数.