1 . 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：

(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

2 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立.

(1)证明：；
(2)当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值.

3 . 如图，已知棱长为4的正方体为的中点，为的中点，，且面.

(1)求证：四点共面，并确定点位置；
(2)求异面直线与之间的距离；
(3)作出经过点的截面（不需说明理由，直接注明点的位置），并求出该截面的周长.

4 . 《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.如图所示，是长方体.

(1)求证：三棱锥为鳖臑；
(2)若，，，求三棱锥的表面积.

5 . 如图，已知AB是半圆O的直径，C为上一动点，平面ABC，D为弦AC的中点．
   
(1)证明：平面PAC．
(2)若，三棱锥的体积为，指出C的位置，并说明理由．

6 . 如图，多面体ABCEF中，，，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形．

(1)证明：
；
(2)若
，当三棱锥
的体积最大时，求二面角
的余弦值．

7 . 如图，直三棱柱中，，，，为线段上的动点．
   
(1)当为线段的中点时，求三棱锥的体积；
(2)当在线段上移动时，求的最小值．

8 . 如图，在正四棱柱中，，.点、、、分别在棱、、、上，，，.

(1)求多面体的体积；
(2)当点在棱上运动时（包括端点），求二面角的余弦值的绝对值的取值范围.

9 . 如图，已知四棱锥的底面是面积为的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为.

   

(1)计算四棱锥的高；
(2)计算四棱锥侧面三角形底边上的高.

10 . 在三棱锥中，点D在以AB为直径的半圆弧上，且平面平面ABC，，．

   

(1)证明：平面BCD；
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求三棱锥的表面积．