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1 . 如图所示的空间直角坐标系A-xyz中,所有坐标均为整数的点称为整点;已知正方体的棱长为a,点P满足,其中,;(1)若,且直线与平面所成角大小为,求点P的轨迹长度;
(2)若,,求正方体经过点的截面面积S的取值范围;
(3)若,求三棱锥内(不包括表面边界)整点的个数.
(2)若,,求正方体经过点的截面面积S的取值范围;
(3)若,求三棱锥内(不包括表面边界)整点的个数.
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2 . 如图,圆锥的底面半径为3,圆锥的表面积为.(1)求圆锥的体积;
(2)设是底面圆周上的两点,且平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
(2)设是底面圆周上的两点,且平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.
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3 . 如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6米铁丝,骨架把圆柱底面8等份,再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).
(1)当圆柱底面半径取何值时,取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01平方米);
(2)在灯笼内,以矩形骨架的顶点为点,安装一些霓虹灯,当灯笼的底面半径为0.3米时,求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小(结果用反三角函数表示)
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4 . 如图,斜三棱柱的侧棱长为,底面是边长为1的正三角形,.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求此棱柱的表面积和体积.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)求此棱柱的表面积和体积.
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5 . 如图,在棱长为1的正方体中,点分别是与的中点.
(1)求与平面所成角的大小;
(2)求.
(1)求与平面所成角的大小;
(2)求.
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6 . 如图,已知点在圆柱的底面圆上,,圆的直径,圆柱的高.
(1)求圆柱的表面积与体积;
(2)求直线与所成的角.
(1)求圆柱的表面积与体积;
(2)求直线与所成的角.
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7 . 在圆锥中,是底面圆周上一点.设的长为1,且圆锥的侧面展开图是半圆.
(1)记圆锥的底面圆半径为,母线长为,则圆锥的侧面积______(用表示);在本题中,求圆锥的侧面积;
(2)求母线与底面所成角的大小.
(1)记圆锥的底面圆半径为,母线长为,则圆锥的侧面积______(用表示);在本题中,求圆锥的侧面积;
(2)求母线与底面所成角的大小.
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8 . 如图所示的正四棱柱的底面边长为1,侧棱,点E在棱上,且.
(1)求三棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数表示)
(1)求三棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成角的大小.(结果用反三角函数表示)
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9 . 如图,在直三棱柱中,已知为的中点.
(1)求直三棱柱的表面积;
(2)求异面直线与所成角的大小(用反三角函数表示);
(3)求证:平面.
(1)求直三棱柱的表面积;
(2)求异面直线与所成角的大小(用反三角函数表示);
(3)求证:平面.
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10 . 亭子是一种中国传统建筑,多建于园林,人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉(如图1).假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体(如图2,其中,,三点共线).一般地,设圆锥中母线与底面所成角的大小为,当时,方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.6米,底面半径为2.4米.圆柱高为3米,底面半径为2米.
(1)求几何体的体积;
(2)如图2,设为圆柱底面半圆弧的三等分点,求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值,并判断该亭子是否满足建筑要求.
(1)求几何体的体积;
(2)如图2,设为圆柱底面半圆弧的三等分点,求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值,并判断该亭子是否满足建筑要求.
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