1 . 在正方体
中（如图所示），边长为2，连接
平面
；
(2)求平面
与平面夹角的余弦值；
(3)底面正方形
的内切圆上是否存在点
使得
与平面所成角的正弦值为
，若存在求
长度，若不存在说明理由．
中（如图所示），边长为2，连接
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值；(3)底面正方形
的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．
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名校
解题方法
2 . 如图，在四棱锥
中，
平面，正方形的边长为2，
是
的中点．
(1)求证：
平面
．
(2)若
，线段
上是否存在一点
，使
平面？若存在，求出
的长度；若不存在，请说明理由．
中，平面，正方形的边长为2，是的中点．(1)求证：
平面．(2)若
，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
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2023-04-14更新
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915次组卷
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14卷引用：2020届天津市河东区高考模拟数学试题
2020届天津市河东区高考模拟数学试题（已下线）专题17 立体几何（解答题）-2020年高考数学母题题源解密（天津专版）福建省建瓯市芝华中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）高中数学-高二上-55陕西省渭南市2022-2023学年高二上学期期末模拟理科数学试题广东省陆丰市龙山中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）第05讲 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）山东省枣庄市市中区市中区辅仁高级中学2023年高二上学期10月月考数学试题福建省师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题四川省自贡市第二十二中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）考点10 空间向量的应用 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）单元高难问题01探索性问题（各大名校30题专项训练）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）（已下线）1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系【第二练】（已下线）专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)
名校
解题方法
3 . 在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体
，
，
，
，
底面
，四边形
是边长为2的正方形且平行于底面，
，
，
的中点分别为，
，
，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面与平面
夹角的余弦值；
(3)一束光从玻璃窗面上点
射入恰经过点
（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．
，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．(1)证明：
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值；(3)一束光从玻璃窗面
上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．
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2023-03-28更新
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977次组卷
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3卷引用：天津市河东区2023届高三一模数学试题
解题方法
4 . 如图所示，直角梯形ABCD中，
，AD垂直AB，
，四边形EDCF为矩形，
，平面
平面ABCD．
(1)求证：
∥平面ABE；
(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；
(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为
，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
，AD垂直AB，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD．(1)求证：
∥平面ABE；(2)求平面ABE与平面EFB所成二面角的正弦值；
(3)在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为
，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
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5 . 如图，四棱锥
中，底面ABCD为矩形，
平面ABCD，E、F分别为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．
(1)证明：
平面SBC；
(2)若
，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值.
中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为AD、SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．(1)证明：
平面SBC；(2)若
，求平面SCD和平面BSC的夹角的余弦值.
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解题方法
6 . 在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，
，圆台下底圆心
为
的中点，直径为2，圆与直线交于
，圆台上底的圆心
在
上，直径为1.
（1）求
与平面
所成角的正弦值；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）圆台上底圆周上是否存在一点使得
，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由.
中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1.（1）求
与平面所成角的正弦值；（2）求二面角
的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点
使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由.
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名校
7 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，点
是的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
平面
；
（3）求二面角
正切值的大小．
中，，，，，点是的中点．（1）求证：
；（2）求证：
平面；（3）求二面角
正切值的大小．
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2021-05-08更新
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1638次组卷
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3卷引用：天津市河东区2021届高三下学期二模数学试题
天津市河东区2021届高三下学期二模数学试题（已下线）专题06 空间向量与立体几何（难点）-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（北师大版2019选择性必修第一册、第二册）河北省易县中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题
名校
8 . 如图，四棱锥的底面为直角梯形，
，
，
，
为的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
（Ⅱ）若平面
平面
，异面直线
与
所成角为60°，且
是钝角三角形，求二面角
的正弦值
的底面为直角梯形，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：
平面（Ⅱ）若平面
平面，异面直线与所成角为60°，且是钝角三角形，求二面角的正弦值
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2020-09-02更新
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371次组卷
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7卷引用：天津市第七中学2022届高三下学期线上第一次阶段检测数学试题
天津市第七中学2022届高三下学期线上第一次阶段检测数学试题2020届山东省济宁市高三5月（二模）模拟数学试题甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第六次诊断考试数学（理）试题（已下线）第33讲 空间中的平行关系-2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）（已下线）专题1.4空间向量的应用-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）陕西省西安工业大学附属中学2022届高三下学期第七次模拟考试理科数学试题陕西省西安工业大学附属中学2022届高三下学期第七次适应性训练理科数学试题
9 . 如图，在四凌锥中，
，底面是直角梯形，
，
，
,
,为线段上一点
（1）求证：
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求
的值
中，，底面是直角梯形，，，,,为线段上一点（1）求证：
；（2）若二面角
的余弦值为，求的值
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10 . 如图，
且AD=2BC，
,
且EG=AD，
且CD=2FG，
，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：
平面
；
（II）求二面角
的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：
平面；（II）求二面角
的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
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2018-06-09更新
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12385次组卷
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47卷引用：天津市河东区2023届高三二模数学试题
天津市河东区2023届高三二模数学试题天津市第八中学2021届高三下学期第一次统练数学试题天津市南开中学2020届高三数学统练（2）2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）（已下线）2018年高考题及模拟题汇编 【理科】5．立体几何（已下线）专题8.6 空间向量及空间位置关系（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.6 空间向量及空间位置关系（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题06 立体几何（解答题）——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题17 立体几何综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项人教B版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1-1.2 综合拔高练（已下线）专题8.8 立体几何综合问题（精练）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）专题8.8 立体几何综合问题（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（精讲）--2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）专题8.7 利用空间向量求空间角 （精讲）--2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）第08章 立体几何（单元检测）-2021届高考数学（理）一轮复习讲练测（已下线）专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题8.7 利用空间向量求空间角（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题4.4 空间向量与立体几何-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）天津市静海区第六中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专题10 立体几何线面位置关系及空间角的计算 第一篇 热点、难点突破篇（讲）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）上海市进才中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题（已下线）考点33 直线、平面平行的判定及其性质-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）专题8.8 立体几何综合问题（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）专题10 立体几何-五年（2017-2021）高考数学真题分项（新高考地区专用）（已下线）专题1.10 空间向量的应用-重难点题型检测-2021-2022学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）考点52 空间向量在立体几何中的运用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】天津市滨海新区大港油田第三中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题天津市静海区第四中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期期末考试数学（理）试题（已下线）专题23 盘点空间面面角的问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）专题22 盘点空间线面角的问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破天津市第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题第一章 空间向量与立体几何单元测试（基础版）（已下线）第09讲 立体几何与空间向量 章节总结 (讲）-1（已下线）专题8.7 立体几何中的向量方法（练）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.7 立体几何中的向量方法（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题8.7 立体几何中的向量方法（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题24 空间向量与空间角的计算-十年（2011-2020）高考真题数学分项黑龙江省双鸭山市友谊县高级中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）重组卷031.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题练习贵州省威宁彝族回族苗族自治县第八中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题变式题16-20（已下线）模块一 专题2 利用空间向量解决立体几何问题 （讲）2 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高二人教A版辽宁省本溪市第一中学2023-2024学年高二上学期综合检测数学试题黑龙江省方正县高楞高级中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）专题23 立体几何解答题（理科）-3
