1 . 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点．

(1)求证：；
(2)是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，四棱柱ABCD—的侧棱⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，AA₁的中点.

(1)证明：B，E，D₁，F四点共面；
(2)若求直线AE与平面BED₁F所成角的正弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面为边长为3的正方形，，，平面平面，为的中点，为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

4 . 如图，在三棱锥中，平面，且,

（1）证明：三棱锥为鳖臑；
（2）若为棱的中点，求二面角的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.

5 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面交于点，且平面.

（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

6 . 如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，侧面底面，且，，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

8 . 在四棱锥中，，，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为.

(1)求证：是中点；
(2)证明：；
(3)求二面角的余弦值.

9 . 如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，．

（1）求证：；
（2）若，的中点为，求二面角的余弦值．

10 . 如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.