1 . 如图在三棱柱中，侧面为边长为2的菱形，，，.
   
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

2 . 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.

（1）求证：平面；
（2）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.

3 . 如图，在直三棱柱中，，，，分别是，中点，为线段上的一个动点.

（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为时，证明：.

4 . 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为正三角形， 是的中点，过的平面平行于平面，且平面与平面的交线为，与平面的交线为 ．

（1）在图中作出四边形（不必说出作法和理由）；
（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值．

5 . 如图，已知矩形与平行四边形所在的平面相互垂直，，，.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角等于，求二面角的平面角.

6 . 在正方体中，已知分别的中点，

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.

7 . 已知四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一动点，点是的中点．

（1）求证：；
（2）若，问是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．

8 . 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
   
(1)求证：；
(2)在线段上，是否存在一点M，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

9 . 如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值.

10 . 在直四棱柱中，已知，，，为上一点，且.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.