1 . 在一个特定时段内，以点
为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点正北55海里处有一个雷达观测站
，如图所示．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点北偏东
且与点相距
海里的位置
，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东
（其中
）且与点相距
海里的位置
．
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？
为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点正北55海里处有一个雷达观测站，如图所示．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东（其中）且与点相距海里的位置．
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域？如果会，大约会在警戒水域行驶多少海里？
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解题方法
2 . 江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点
为起点建造上、下桥坡道，要求：①
；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为
（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
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名校
3 . 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按
方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．
已知
米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与
的夹角为
．
(1)若
，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到
）
(2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲．若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知
米，E为AB中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．(1)若
，AD足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到）(2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论
的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？
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名校
4 . 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中
.摩天轮近似为一个圆，其半径为
，圆心
到地面的距离为
，其最高点为
点正下方的地面点与公路的距离为
.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
(1)如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）(1)如图所示，甲位于摩天轮的
点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？(2)当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
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2024-02-27更新
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243次组卷
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3卷引用：浙江省台州市2023-2024学年高二上学期1月期末质量评估数学试题
5 . 为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和
海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点
的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
(1)如图，以为坐标原点，
，
为
，
轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有渔船从出发，沿
方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求
的取值范围．
的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区． (1)如图，以
为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；(2)海平面上有渔船从
出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
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6 . 如图，四边形
是一块长方形绿地，
是一条直路，交
于点
，交
于点
，且
.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到
三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线
分别为，轴建立如图所示的直角坐标系.
(1)求出建筑物的中心的坐标；
(2)由建筑物的中心到直路
要开通一条路，已知路的造价为150万元
，求开通的这条路的最低造价.
（附：参考数据
.）
是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系.(1)求出建筑物的中心
的坐标；(2)由建筑物的中心到直路
要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.（附：参考数据
.）
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2024高二上·全国·专题练习
7 . 如图，已知某市穿城公路
自西向东到达市中心O后转向正北方向，
，现准备修建一条直线型高架公路L，在
上设一出入口A，在
上设一出入口B. 且要求市中心O到所在直线的距离为10 km.
(1)若将出入口A设计在距离中心O点
km处，求A，B两出入口间的距离；
(2)在公路段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区?
自西向东到达市中心O后转向正北方向，，现准备修建一条直线型高架公路L，在上设一出入口A，在上设一出入口B. 且要求市中心O到所在直线的距离为10 km. (1)若将出入口A设计在距离中心O点
km处，求A，B两出入口间的距离；(2)在公路
段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区?
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解题方法
8 . 已知圆
经过点
．
(1)求
的值；
(2)过原点的直线
与圆交于
两点，
，求直线的方程．
经过点．(1)求
的值；(2)过原点
的直线与圆交于两点，，求直线的方程．
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解题方法
9 . 如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地
（包含地界和内部），
长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为
，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．
(2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段
上都能逃脱，问N点应在何处？
（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．
(2)若N为矩形场地
边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？
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解题方法
10 . 某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东
方向
处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.
方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C.
(2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西
方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由.
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